Inverta a ordem de integraça nos seguintes casos:
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y d x ;

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral \displaystyle \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x,y)\,dy\,dx.
Aqui a matéria é descrição de regiões planas e troca de ordem em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a região R descrita pela integral original. Ela é
R = \bigl\{(x,y)\mid -1 \le x \le 1,\; -\sqrt{1-x^{2}}\le y \le \sqrt{1-x^{2}}\bigr\}.
Geometricamente, R é o disco de raio 1 centrado na origem, definido por x^{2}+y^{2}\le1.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo y. Como x^{2}+y^{2}\le1 implica -1\le y\le1, vemos que
-1 \le y \le 1.

Passo 4

Agora, para um y fixo em [-1,1], a condição x^{2}\le1-y^{2}
-\sqrt{1-y^{2}} \;\le\; x \;\le\; \sqrt{1-y^{2}}.
Logo, a integral com ordem trocada fica
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x,y)\,dx\,dy.

Resposta

\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x,y)\,dx\,dy.

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