Inverta a ordem de integraça nos seguintes casos:
\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{1} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{1}f(x,y)\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é interpretação geométrica da região de integração e troca dos limites correspondentes.

Passo 2

Descrevemos a região
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\; x^{2} \le y \le 1\}.
Para inverter, projetamos em y: o menor valor de y ocorre quando x=0, ou seja y_{\min}=0, e o maior é y_{\max}=1. Fixado y em [0,1], a condição x^{2}\le y com x\ge0 vira
0 \le x \le \sqrt{y}.

Passo 3

Com isso, a integral com ordem invertida fica
\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\,dy.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\,dy.

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