Inverta a ordem de integraça nos seguintes casos:
\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{1} f(x, y) d y d x

Passo 1

Temos a integral
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{1}f(x,y)\,dy\,dx
que é a integral de f(x,y) sobre a região
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x^{2}\le y\le1\}.
Queremos trocar a ordem de integração, ou seja, escrever como \int\!\!\int_{D}f(x,y)\,dx\,dy.

Passo 2

Para inverter a ordem, descrevemos D em termos de y primeiro. Observando x^{2}\le y\le1 e 0\le x\le1, notamos que o menor valor de y ocorre em x=0, isto é y=0^{2}=0, e o maior valor de y é 1. Logo
0\le y\le1.

Passo 3

Dado um valor fixo de y\in[0,1], a condição x^{2}\le y equivale a \lvert x\rvert\le\sqrt{y}. Como x\ge0, temos
0\le x\le\sqrt{y}.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{1}f(x,y)\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\,dy.

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