Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
O que nos pede:
- Inverter a ordem de integração (ou seja, escrever a integral com
interno e externo). - Calcular o valor numérico da integral após inverter e resolver.
Informações relevantes dadas:
- O domínio está implícito nas desigualdades das integrais internas:
e . - O integrando é
, que depende só de .
Passo 2
Entender geometricamente o domínio
no plano
.
A desigualdade
é equivalente a
(porque a função cúbica é monotona crescente). Juntando com
e
obtemos:
ou, reescrevendo em termos de
,
Portanto, o menor valor de
no domínio é
(quando
) e o maior é
.
Passo 3
Trocar a ordem de integração usando a descrição obtida do domínio.
Com a descrição em termos de
, a integral com ordem invertida fica
Aqui explico por que: para cada
fixo entre
e
,
varia de
até
, como deduzimos em
Passo 4
Calcular a integral interna em relação a
.
A integranda
é constante em
quando
está fixo, logo
Nota didática rápida: integrar uma constante
em
dá
. Aqui
.
Passo 5
Reduzimos a integral dupla a uma integral simples em
:
Agora precisamos calcular essa integral racional. Uma técnica prática é dividir o polinômio
por
(divisão polinomial) para simplificar.
Passo 6
Fazer a divisão polinomial de
por
.
Observação:
Como (porque
), obtemos
Como
Isso facilita a integração, pois cada termo tem antiderivada elementar simples.
Passo 7
Integrar termo a termo:
Calculemos as antiderivadas:
-
. -
. -
. -
.
Portanto uma primitiva é
Passo 8
Avaliar a primitiva nos limites
e
.
Calcule em
:
Calcule em
:
Logo a integral definida é