Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{8} \int_{\sqrt[3]{x}}^{2} \frac{d y d x}{y^{1}+1} d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\int_{0}^{8}\int_{\sqrt[3]{x}}^{2}\frac{1}{y+1}\,dy\,dx.
O que nos pede:
  • Inverter a ordem de integração (ou seja, escrever a integral com dx interno e dy externo).
  • Calcular o valor numérico da integral após inverter e resolver.
Informações relevantes dadas:
  • O domínio está implícito nas desigualdades das integrais internas: 0\le x\le 8 e \sqrt[3]{x}\le y\le 2.
  • O integrando é \frac{1}{y+1}, que depende só de y.

Passo 2

Entender geometricamente o domínio D no plano (x,y).
A desigualdade \sqrt[3]{x}\le y é equivalente a x\le y^{3} (porque a função cúbica é monotona crescente). Juntando com 0\le x\le 8 e y\le 2 obtemos:
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 8,\\ \sqrt[3]{x}\le y\le 2\}
ou, reescrevendo em termos de y,
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 2,\\\ 0\le x\le y^{3}\}.
Portanto, o menor valor de y no domínio é y=0 (quando x=0) e o maior é y=2.

Passo 3

Trocar a ordem de integração usando a descrição obtida do domínio.
Com a descrição em termos de y, a integral com ordem invertida fica
\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{y^{3}}\frac{1}{y+1}\,dx\,dy.
Aqui explico por que: para cada y fixo entre 0 e 2, x varia de 0 até y^{3}, como deduzimos em

Passo 4

Calcular a integral interna em relação a x.
A integranda \frac{1}{y+1} é constante em x quando y está fixo, logo
\int_{x=0}^{y^{3}}\frac{1}{y+1}\,dx=\frac{1}{y+1}\int_{0}^{y^{3}}dx=\frac{1}{y+1}\left[x\right]_{0}^{y^{3}}=\frac{y^{3}}{y+1}.
Nota didática rápida: integrar uma constante C em x C\cdot x. Aqui C=\frac{1}{y+1}.

Passo 5

Reduzimos a integral dupla a uma integral simples em y:
\int_{0}^{2}\frac{y^{3}}{y+1}\,dy.
Agora precisamos calcular essa integral racional. Uma técnica prática é dividir o polinômio y^{3} por y+1 (divisão polinomial) para simplificar.

Passo 6

Fazer a divisão polinomial de y^{3} por y+1.
Observação: \displaystyle \frac{y^{3}}{y+1}=\frac{y^{3}+1-1}{y+1}=\frac{y^{3}+1}{y+1}-\frac{1}{y+1}.
Como \displaystyle \frac{y^{3}+1}{y+1}=y^{2}-y+1 (porque (y+1)(y^{2}-y+1)=y^{3}+1), obtemos
\frac{y^{3}}{y+1}=y^{2}-y+1-\frac{1}{y+1}.
Isso facilita a integração, pois cada termo tem antiderivada elementar simples.

Passo 7

Integrar termo a termo:
\int_{0}^{2}\frac{y^{3}}{y+1}\,dy=\int_{0}^{2}\left(y^{2}-y+1-\frac{1}{y+1}\right)dy.
Calculemos as antiderivadas:
  • \displaystyle \int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3}.
  • \displaystyle \int (-y)\,dy=-\frac{y^{2}}{2}.
  • \displaystyle \int 1\,dy=y.
  • \displaystyle \int -\frac{1}{y+1}\,dy=-\ln|y+1|.
Portanto uma primitiva é
F(y)=\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{2}}{2}+y-\ln|y+1|.

Passo 8

Avaliar a primitiva nos limites 0 e 2.
Calcule em y=2:
F(2)=\frac{2^{3}}{3}-\frac{2^{2}}{2}+2-\ln(2+1)=\frac{8}{3}-\frac{4}{2}+2-\ln 3=\frac{8}{3}-2+2-\ln 3=\frac{8}{3}-\ln 3.
Calcule em y=0:
F(0)=0-0+0-\ln(0+1)=0-0=0.
Logo a integral definida é
F(2)-F(0)=\frac{8}{3}-\ln 3.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}-\ln 3

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