Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma integral dupla que precisa inverter a ordem de integração e calcular. O que isso significa? Basicamente, temos que trocar a ordem de como integramos primeiro em relação a e depois em relação a . O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e como eles se relacionam entre si, além de saber manipular as expressões matemáticas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral original:
Aqui, a integração interna é em relação a , de até , e a externa é em relação a , de a . Para inverter a ordem, precisamos entender a região de integração no plano .
Passo 3
Vamos desenhar o domínio de integração para visualizar melhor. A integração original varia de a , e para cada , vai de até .
Então, no plano :
A reta inferior para é .
A reta superior para é .
varia de até .
Isso forma um trapézio onde, para inverter a ordem, vai de a , e para cada , vai de até .
Passo 4
Agora que temos os novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
Note que, ao inverter a ordem, a integração interna agora é em relação a , de a , e a externa em relação a , de a .
Passo 5
Vamos calcular a integral invertida passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
integral0^raizln 3 2x e^x^2 , dx
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja u = x^2, então du = 2x , dx. Substituindo:
integral 2x e^x^2 , dx = integral e^u , du = e^u + C = e^x^2 + C