Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
integral0^2 raizln 3 integraly / 2^raizln 3 e^x^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma integral dupla que precisa inverter a ordem de integração e calcular. O que isso significa? Basicamente, temos que trocar a ordem de como integramos primeiro em relação a x e depois em relação a y. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e como eles se relacionam entre si, além de saber manipular as expressões matemáticas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral original:
integral0^2 raizln 3 integraly2^raizln 3 e^x^2 , dx , dy
Aqui, a integração interna é em relação a x, de y2 até raizln 3, e a externa é em relação a y, de 0 a 2 raizln 3. Para inverter a ordem, precisamos entender a região de integração no plano xy.

Passo 3

Vamos desenhar o domínio de integração para visualizar melhor. A integração original varia y de 0 a 2 raizln 3, e para cada y, x vai de y2 até raizln 3.
Então, no plano xy:
  • A reta inferior para x é x = y2.
  • A reta superior para x é x = raizln 3.
  • y varia de 0 até 2 raizln 3.
Isso forma um trapézio onde, para inverter a ordem, x vai de 0 a raizln 3, e para cada x, y vai de 0 até 2x.

Passo 4

Agora que temos os novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^raizln 3 integral0^2x e^x^2 , dy , dx
Note que, ao inverter a ordem, a integração interna agora é em relação a y, de 0 a 2x, e a externa em relação a x, de 0 a raizln 3.

Passo 5

Vamos calcular a integral invertida passo a passo. Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^2x e^x^2 , dy = e^x^2 cdot y |0^2x = e^x^2 cdot (2x - 0) = 2x e^x^2
Agora, a integral fica:
integral0^raizln 3 2x e^x^2 , dx
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja u = x^2, então du = 2x , dx. Substituindo:
integral 2x e^x^2 , dx = integral e^u , du = e^u + C = e^x^2 + C
Agora, aplicamos os limites de integração:
e^x^2 |0^raizln 3 = e^(raizln 3)^2 - e^0 = e^ln 3 - 1 = 3 - 1 = 2

Resposta

O valor da integral é 2.

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