Utilize coordenadas esféricas para calcular
integral triplaE e^(x^2+y^2+z^2)^12 d V
, onde E é a bola unitária x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

A gente quer calcular integral triplaE e^raizx^2+y^2+z^2,dV, onde E é a bola unitária x^2+y^2+z^2<=1. O conteúdo é integral tripla em coordenadas esféricas, então vamos usar essa mudança de variável.

Passo 2

Expressamos x,y,z em coordenadas esféricas e identificamos o elemento de volume. Temos
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi, dV = r^2sinphi,dr,dphi,dtheta
e a função fica e^raizx^2+y^2+z^2=e^r. Os limites são 0<= r<=1, 0<=phi<=pi e 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Separamos a integral em parte angular e radial:
integral triplaE e^raizx^2+y^2+z^2,dV = integral0^2pi!dtheta integral0^pi!sinphi,dphi integral0^1 e^r r^2,dr

Passo 4

Calculamos primeiro a parte angular:
integral0^2pi!dtheta = 2pi, integral0^pi!sinphi,dphi = 2,
o que dá 2pitimes2=4pi.

Passo 5

Agora a parte radial:
integral0^1 r^2 e^r,dr
Fazendo por partes (ou usando a fórmula integral r^2 e^r dr = e^r(r^2-2r+2)+C), avaliamos de 0 a 1 e achamos
l[e^r(r^2-2r+2)r]0^1 = e(1-2+2) - (0-0+2) = e - 2

Passo 6

Multiplicando a parte angular pela radial fica
4pi,(e-2)

Resposta

4pi(e-2)

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