Calcule integral duplaR f(x, y) d A em cada um dos seguintes casos:
f(x, y)=raizx y+y^2, R é o triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo integrais duplas! A questão pede para calcular a integral dupla de uma função sobre uma região triangular. Vamos precisar usar o conceito de integrais duplas, entender como definir os limites de integração para a região dada, e aplicar as fórmulas corretas para encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região $ R $ que é um triângulo com vértices em $ (0,0) $, $ (0,1) $ e $ (1,1) $. Esse triângulo está no primeiro quadrante e é delimitado pelas linhas $ y = 0 $, $ y = 1 $ e $ y = x $ (a hipotenusa do triângulo).

Passo 3

Agora, vamos visualizar como configurar os limites de integração. Podemos integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $, ou vice-versa. Vamos escolher integrar primeiro em $ x $. Para isso, para cada valor de $ y $ entre 0 e 1, $ x $ varia de 0 até $ y $ (já que a hipotenusa é $ x = y $).

Passo 4

Vamos escrever a integral dupla com os limites definidos:
integral duplaR raizx y + y^2 , dA = integraly=0^1 integralx=0^y raizx y + y^2 , dx , dy

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raizx y + y^2 = raizy(x + y) = raizy cdot raizx + y
Então, a integral fica:
integral0^1 integral0^y raizy cdot raizx + y , dx , dy = integral0^1 raizy ( integral0^y raizx + y , dx ) dy
Vamos fazer a substituição $ u = x + y $, então $ du = dx $. Quando $ x = 0 $, $ u = y $ e quando $ x = y $, $ u = 2y $:
u = x + y
Simplificando:
du = dx

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral principal:
integral0^1 raizy cdot 23 y^3/2 (2^3/2 - 1) , dy = 23 (2^3/2 - 1) integral0^1 y^2 , dy
Calculando a integral de $ y^{2} $:
y^2
Então, a expressão fica:
integral0^1 y^2 , dy = [ 13 y^3 ]0^1 = 13

Resposta

O valor da integral dupla é $ \frac{2}{9} (2^{3/2} - 1) $.

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