Calcule
em cada um dos seguintes casos:
,
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo integrais duplas! A questão pede para calcular a integral dupla de uma função sobre uma região triangular. Vamos precisar usar o conceito de integrais duplas, entender como definir os limites de integração para a região dada, e aplicar as fórmulas corretas para encontrar o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ R $ que é um triângulo com vértices em $ (0,0) $, $ (0,1) $ e $ (1,1) $. Esse triângulo está no primeiro quadrante e é delimitado pelas linhas $ y = 0 $, $ y = 1 $ e $ y = x $ (a hipotenusa do triângulo).
Passo 3
Agora, vamos visualizar como configurar os limites de integração. Podemos integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $, ou vice-versa. Vamos escolher integrar primeiro em $ x $. Para isso, para cada valor de $ y $ entre 0 e 1, $ x $ varia de 0 até $ y $ (já que a hipotenusa é $ x = y $).
Passo 4
Vamos escrever a integral dupla com os limites definidos:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Vamos fazer a substituição $ u = x + y $, então $ du = dx $. Quando $ x = 0 $, $ u = y $ e quando $ x = y $, $ u = 2y $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral principal:
Calculando a integral de $ y^{2} $:
Então, a expressão fica:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \frac{2}{9} (2^{3/2} - 1) $.