Inverta a ordem de integração para derivar a fórmula
integral0^a integral0^y e^m(a-x) f(x) d x d y=integral0^a(a-x) e^m(a-x) f(x) d x
com a e m constantes e a>0.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede para inverter a ordem de integração de uma dupla integral. A ideia é transformar a integral dupla
integral0^a integral0^y e^m(a-x) f(x) , dx , dy
em uma integral simples equivalente. Vamos usar conhecimentos de integração múltipla e como mudar os limites de integração para chegar na fórmula que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Aqui, varia de 0 até , e para cada , varia de 0 até . Se desenharmos isso no plano , a região é um triângulo onde está abaixo de e ambos vão de 0 a .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Agora, vamos fixar integral0^a integralx^a e^m(a-x) f(x) , dy , dx primeiro. Observando a região, para cada fixo, varia de até . Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, a gente integra em relação a integralx^a e^m(a-x) f(x) , dy = e^m(a-x) f(x) cdot (a - x) . Como a função não depende de , a integral interna é simples:

Passo 5

Substituindo de volta na integral principal, temos:
integral0^a (a - x) e^m(a - x) f(x) , dx

Resposta

A integral original pode ser reescrita como
integral0^a (a - x) e^m(a - x) f(x) , dx

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