Calcule o volume abaixo de gráfico de f e acima de D se:
f(x, y) = x^2 + y^2 e D = {(x, y): |x| < 1, |y| < 1}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume que está abaixo do gráfico da função e acima da região , que é definida por e . Vamos usar cálculo de integrais duplas para isso. Isso significa que vamos somar infinitos pedacinhos de área na região e multiplicar pela altura dada por para encontrar o volume total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A condição e define um quadrado no plano com lados de comprimento 2, centralizado na origem. Isso significa que varia de -1 a 1 e, para cada valor de , também varia de -1 a 1.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla que representa o volume. A fórmula geral para calcular o volume abaixo de e acima de é:
No nosso caso, isso fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante durante essa parte. A integral interna é:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Como não depende de , a primeira parte fica:
A segunda parte é:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 5

Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa, que é em relação a :
Vamos novamente separar essa integral:
Calculando cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas partes para encontrar o volume total:

Resposta

O volume abaixo do gráfico de e acima da região é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados