Inverta a ordem de integraçäo.
\int_{0}^{3 a}\left[\int_{\sqrt{3 a x-x^{2}}}^{\sqrt{4 a x-x^{2}}} f(x, y) d y\right] d x(a>0).

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{3a}\left[\int_{\sqrt{3ax-x^{2}}}^{\sqrt{4ax-x^{2}}} f(x,y)\,dy\right]dx,\qquad (a>0),
e pede para inverter a ordem de integração.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A integração em x vai de 0 a 3a.
  • Para cada x nessa faixa, y varia de \sqrt{3ax-x^{2}} (limite inferior) até \sqrt{4ax-x^{2}} (limite superior).
  • As raízes quadradas implicam que estamos considerando as partes com y\ge 0 dos radicandos.
  • O objetivo é reescrever a integral na forma \displaystyle\int_{y=\text{?}}^{\text{?}}\left[\int_{x=\text{?}}^{\text{?}} f(x,y)\,dx\right]dy.

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região de integração D no plano (x,y). As curvas dadas pelos limites em y são
y=\sqrt{3ax-x^{2}}\quad\text{e}\quad y=\sqrt{4ax-x^{2}}.
Para visualizar melhor, escrevemos cada uma em forma clássica completando quadrado (isso mostra que são semicircunferências centradas no eixo x):
Para y=\sqrt{3ax-x^{2}}:
3ax-x^{2} = -\bigl(x^{2}-3ax\bigr) = -\Bigl[(x-\tfrac{3a}{2})^{2}-\Bigl(\tfrac{3a}{2}\Bigr)^{2}\Bigr]
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y^{2}+(x-\tfrac{3a}{2})^{2}=\Bigl(\tfrac{3a}{2}\Bigr)^{2}.
Isto é a semicircunferência superior de centro \bigl(\tfrac{3a}{2},0\bigr) e raio \tfrac{3a}{2}.
Para y=\sqrt{4ax-x^{2}}:
4ax-x^{2} = -\bigl(x^{2}-4ax\bigr) = -\Bigl[(x-2a)^{2}-(2a)^{2}\Bigr]
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y^{2}+(x-2a)^{2}=(2a)^{2}.
Isto é a semicircunferência superior de centro (2a,0) e raio 2a.
Portanto D é a região contida entre a semicircunferência maior ( y=\sqrt{4ax-x^{2}}) por cima e a semicircunferência menor ( y=\sqrt{3ax-x^{2}}) por baixo, com x limitado a [0,3a] (o domínio original em x). Em palavras: é um anel (ou “casquinha”) entre duas semicircunferências, truncado no lado direito por x=3a.

Passo 3

Determinar a variação possível de y. Como ambas as expressões são raízes quadradas, y\ge 0. O máximo de y na região virá do ponto mais alto da semicircunferência maior, cujo raio é 2a. Logo
0\le y \le 2a.
Então, na integração invertida vamos ter y variando em [0,2a]. Entretanto, os limites em x para um dado y serão diferentes dependendo do valor de y (há cortes onde a topologia do intervalo em x muda). Precisamos achar esses cortes.

Passo 4

Para inverter a ordem, para um y fixo devemos achar todos os x tais que
\sqrt{3ax-x^{2}}\le y \le \sqrt{4ax-x^{2}}
e 0\le x\le 3a. Elevando ao quadrado (tudo não negativo) obtemos o sistema equivalente
3ax-x^{2}\le y^{2}\le 4ax-x^{2}.
Reescrevendo como inequações quadráticas em x:
Da desigualdade superior y^{2}\le 4ax-x^{2} temos
x^{2}-4ax+y^{2}\le 0.
As raízes dessa quadrática (vamos chamá-las de u(y) e v(y)) são:
u(y)=2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}},\qquad v(y)=2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}},
e a condição equivale a
x\in [\,u(y),\,v(y)\,].
(Geometricamente, isto é o intervalo de x interceptado pela semicircunferência maior para a altura y.)
Da desigualdade inferior 3ax-x^{2}\le y^{2} obtemos
x^{2}-3ax+y^{2}\ge 0.
As raízes dessa quadrática (se existirem) são
r_{1}(y)=\frac{3a-\sqrt{9a^{2}-4y^{2}}}{2},\qquad r_{2}(y)=\frac{3a+\sqrt{9a^{2}-4y^{2}}}{2}.
A condição x^{2}-3ax+y^{2}\ge 0 significa
x\le r_{1}(y)\quad\text{ou}\quad x\ge r_{2}(y),
quando as raízes são reais. Geometricamente, isto corresponde a afastar-se do interior da semicircunferência menor (o interior é x\in (r_{1},r_{2}) quando as raízes existem).
Portanto, para um y fixo os x admissíveis são
x\in [\,u(y),\,v(y)\,]\\ \cap\\ \bigl(\,(-\infty,r_{1}(y)]\cup[r_{2}(y),\infty)\bigr)\\ \cap\\ [0,3a].

Passo 5

Analisar os valores de y onde o padrão muda (discriminantes e interseções com x=3a).
  1. A expressão de r_{1},r_{2} tem discriminante 9a^{2}-4y^{2}. Esse discriminante é zero quando
9a^{2}-4y^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{3a}{2}.
  • Para 0\le y<\tfrac{3a}{2} as raízes r_{1},r_{2} são reais e há um intervalo interior (r_{1},r_{2}) que é removido (o interior da semicircunferência menor).
  • Para y>\tfrac{3a}{2} o discriminante é negativo, a quadrática x^{2}-3ax+y^{2} é sempre positiva e a condição inferior \sqrt{3ax-x^{2}}\le y é satisfeita para todo x; portanto, para y>\tfrac{3a}{2} só a desigualdade superior (a semicircunferência maior) impõe restrição em x.
  1. Precisamos também considerar onde o lado direito natural v(y)=2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}} cruza o valor x=3a. Igualando:
2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}}=3a\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{4a^{2}-y^{2}}=a\quad\Longrightarrow\quad y^{2}=3a^{2},
ou seja y=\sqrt{3}\,a. Observações:
  • Para y<\sqrt{3}\,a tem-se v(y)>3a, isto é, a semicircunferência maior se estende além de x=3a e o corte por x\le 3a fica ativo.
  • Para y\ge \sqrt{3}\,a tem-se v(y)\le 3a, então o intervalo [u(y),v(y)] está completamente dentro de [0,3a].
Combinando os dois cortes, distinguimos três faixas de y:
  • Faixa A: 0\le y\le \dfrac{3a}{2}. Aqui as raízes r_{1},r_{2} são reais e v(y)>3a (na verdade, para todo y\le \tfrac{3a}{2}<\sqrt{3}a tem v(y)>3a). Portanto, o intervalo [u,v] efetivo, intersectado com [0,3a], é [u(y),3a], e dentro dele devemos excluir o intervalo interior (r_{1}(y),r_{2}(y)). Assim os x admissíveis são a união de dois intervalos:
x\in [\,u(y),\,r_{1}(y)\,]\\ \cup\\ [\,r_{2}(y),\,3a\,].
  • Faixa B: \dfrac{3a}{2}\le y\le \sqrt{3}\,a. Aqui o discriminante do caso interno já é \le 0 (no extremo igual a zero), então a condição interna não restringe; porém ainda v(y)>3a enquanto y<\sqrt{3}a. Portanto os x admissíveis são simplesmente
x\in [\,u(y),\,3a\,].
  • Faixa C: \sqrt{3}\,a\le y\le 2a. Aqui v(y)\le 3a e a condição interna é irrestritiva (porque y\ge \tfrac{3a}{2}), então os x admissíveis são
x\in [\,u(y),\,v(y)\,]=\bigl[\,2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}},\\\ 2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}}\,\bigr].
Essas três faixas cobrem 0\le y\le 2a sem sobreposição e descrevem completamente os intervalos de x ao fixar y.

Passo 6

Escrever a integral original com a ordem invertida, usando as faixas e os limites obtidos. Lembrando as expressões
u(y)=2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}},\quad v(y)=2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}},
r_{1}(y)=\frac{3a-\sqrt{9a^{2}-4y^{2}}}{2},\quad r_{2}(y)=\frac{3a+\sqrt{9a^{2}-4y^{2}}}{2}.
A integral invertida fica (soma das contribuições das três faixas):
\int_{0}^{\frac{3a}{2}}\left[\int_{u(y)}^{r_{1}(y)} f(x,y)\,dx + \int_{r_{2}(y)}^{3a} f(x,y)\,dx\right]dy
+\int_{\frac{3a}{2}}^{\sqrt{3}a}\left[\int_{u(y)}^{3a} f(x,y)\,dx\right]dy
+\int_{\sqrt{3}a}^{2a}\left[\int_{u(y)}^{v(y)} f(x,y)\,dx\right]dy.

Resposta

\int_{0}^{\frac{3a}{2}}\left[\int_{\,2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}}^{\frac{3a-\sqrt{9a^{2}-4y^{2}}}{2}} f(x,y)\,dx +\int_{\frac{3a+\sqrt{9a^{2}-4y^{2}}}{2}}^{3a} f(x,y)\,dx\right]dy
+\int_{\frac{3a}{2}}^{\sqrt{3}a}\left[\int_{\,2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}}^{3a} f(x,y)\,dx\right]dy +\int_{\sqrt{3}a}^{2a}\left[\int_{\,2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}}^{\,2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}}} f(x,y)\,dx\right]dy.

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