Inverta a ordem de integraçäo.
.
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
e pede para inverter a ordem de integração.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A integração em
vai de a . - Para cada
nessa faixa, varia de (limite inferior) até (limite superior). - As raízes quadradas implicam que estamos considerando as partes com
dos radicandos. - O objetivo é reescrever a integral na forma
.
Passo 2
Vamos entender geometricamente a região de integração
no plano
. As curvas dadas pelos limites em
são
Para visualizar melhor, escrevemos cada uma em forma clássica completando quadrado (isso mostra que são semicircunferências centradas no eixo
):
Para
:
logo
Isto é a semicircunferência superior de centro
e raio
.
Para
:
logo
Isto é a semicircunferência superior de centro
e raio
.
Portanto
é a região contida entre a semicircunferência maior (
) por cima e a semicircunferência menor (
) por baixo, com
limitado a
(o domínio original em
). Em palavras: é um anel (ou “casquinha”) entre duas semicircunferências, truncado no lado direito por
.
Passo 3
Determinar a variação possível de
. Como ambas as expressões são raízes quadradas,
. O máximo de
na região virá do ponto mais alto da semicircunferência maior, cujo raio é
. Logo
Então, na integração invertida vamos ter
variando em
. Entretanto, os limites em
para um dado
serão diferentes dependendo do valor de
(há cortes onde a topologia do intervalo em
muda). Precisamos achar esses cortes.
Passo 4
Para inverter a ordem, para um
fixo devemos achar todos os
tais que
e
. Elevando ao quadrado (tudo não negativo) obtemos o sistema equivalente
Reescrevendo como inequações quadráticas em
:
Da desigualdade superior
temos
As raízes dessa quadrática (vamos chamá-las de
e
) são:
e a condição equivale a
(Geometricamente, isto é o intervalo de
interceptado pela semicircunferência maior para a altura
.)
Da desigualdade inferior
obtemos
As raízes dessa quadrática (se existirem) são
A condição
significa
quando as raízes são reais. Geometricamente, isto corresponde a afastar-se do interior da semicircunferência menor (o interior é
quando as raízes existem).
Portanto, para um
fixo os
admissíveis são
Passo 5
Analisar os valores de
onde o padrão muda (discriminantes e interseções com
).
- A expressão de
tem discriminante . Esse discriminante é zero quando
- Para
as raízes são reais e há um intervalo interior que é removido (o interior da semicircunferência menor). - Para
o discriminante é negativo, a quadrática é sempre positiva e a condição inferior é satisfeita para todo ; portanto, para só a desigualdade superior (a semicircunferência maior) impõe restrição em .
- Precisamos também considerar onde o lado direito natural
cruza o valor . Igualando:
ou seja
. Observações:
- Para
tem-se , isto é, a semicircunferência maior se estende além de e o corte por fica ativo. - Para
tem-se , então o intervalo está completamente dentro de .
Combinando os dois cortes, distinguimos três faixas de
:
- Faixa A:
. Aqui as raízes são reais e (na verdade, para todo tem ). Portanto, o intervalo efetivo, intersectado com , é , e dentro dele devemos excluir o intervalo interior . Assim os admissíveis são a união de dois intervalos:
- Faixa B:
. Aqui o discriminante do caso interno já é (no extremo igual a zero), então a condição interna não restringe; porém ainda enquanto . Portanto os admissíveis são simplesmente
- Faixa C:
. Aqui e a condição interna é irrestritiva (porque ), então os admissíveis são
Essas três faixas cobrem
sem sobreposição e descrevem completamente os intervalos de
ao fixar
.
Passo 6
Escrever a integral original com a ordem invertida, usando as faixas e os limites obtidos. Lembrando as expressões
A integral invertida fica (soma das contribuições das três faixas):