Inverta a ordem de integraçäo.
.
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
O que se pede é inverter a ordem de integração, ou seja, escrever a mesma integral com a integração em
por fora e em
por dentro, indicando corretamente os novos limites de integração.
Passo 2
Vamos descrever a região do plano
sobre a qual se integra. A condição interna dá, para cada
entre
e
,
Portanto a região
é
Intuitivamente, para cada altura
em
a abscissa
corre da curva
até a vertical
. Note que a curva
é crescente em
: quando
tem
e quando
tem
.
Passo 3
Para inverter a ordem, precisamos reescrever
como "para cada
em um certo intervalo,
varia entre duas curvas em função de
". A desigualdade
é equivalente a
pois a função
é a inversa de
. Mantendo também
, obtemos para um dado
Agora encontramos o intervalo de
possível projetando
no eixo
. Como
vai de
(que, para
, varia de
até
) até
, a projeção é
Passo 4
Resumo da mudança de ponto de vista (regra prática para a prova): originalmente
corre primeiro em
e para cada
corre de
a
. Invertendo,
vai de
a
e, para cada
fixo,
vai de
até
. Ajustando a integral dupla, a ordem de integração troca sem alterar o integrando
nem o diferencial (desde que
seja integrável apropriada), portanto os novos limites são consistentes e corretos.
Pequeno exemplo para fixar: se tivesse , a região é
. Projetando em
dá
e para cada
tem
. Assim a integral invertida seria
. A lógica aplicada é exatamente a mesma do problema com
.
Pequeno exemplo para fixar: se tivesse