Inverta a ordem de integraçäo.
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y}}^{e} f(x, y) d x\right] d y.

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y}}^{e} f(x,y)\,dx\right]dy.
O que se pede é inverter a ordem de integração, ou seja, escrever a mesma integral com a integração em x por fora e em y por dentro, indicando corretamente os novos limites de integração.

Passo 2

Vamos descrever a região do plano (x,y) sobre a qual se integra. A condição interna dá, para cada y entre 0 e 1,
e^{y}\le x\le e.
Portanto a região D é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; e^{y}\le x\le e\}.
Intuitivamente, para cada altura y em [0,1] a abscissa x corre da curva x=e^{y} até a vertical x=e. Note que a curva x=e^{y} é crescente em y: quando y=0 tem e^{0}=1 e quando y=1 tem e^{1}=e.

Passo 3

Para inverter a ordem, precisamos reescrever D como "para cada x em um certo intervalo, y varia entre duas curvas em função de x". A desigualdade e^{y}\le x é equivalente a
y\le \ln x,
pois a função \ln é a inversa de e^{(\cdot)}. Mantendo também y\ge 0, obtemos para um dado x
0\le y\le \ln x.
Agora encontramos o intervalo de x possível projetando D no eixo x. Como x vai de e^{y} (que, para y\in[0,1], varia de e^{0}=1 até e^{1}=e) até e, a projeção é
1\le x\le e.

Passo 4

Resumo da mudança de ponto de vista (regra prática para a prova): originalmente y corre primeiro em [0,1] e para cada y x corre de e^{y} a e. Invertendo, x vai de 1 a e e, para cada x fixo, y vai de 0 até \ln x. Ajustando a integral dupla, a ordem de integração troca sem alterar o integrando f(x,y) nem o diferencial (desde que f seja integrável apropriada), portanto os novos limites são consistentes e corretos.
Pequeno exemplo para fixar: se tivesse \int_{0}^{2}\left[\int_{y}^{2} g(x,y)\,dx\right]dy, a região é \{(x,y)\mid 0\le y\le 2,\; y\le x\le 2\}. Projetando em x 0\le x\le 2 e para cada x tem 0\le y\le x. Assim a integral invertida seria \int_{0}^{2}\left[\int_{0}^{x} g(x,y)\,dy\right]dx. A lógica aplicada é exatamente a mesma do problema com e^{y}.

Resposta

\int_{1}^{e}\left[\int_{0}^{\ln x} f(x,y)\,dy\right]dx

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