Inverta a ordem de integraçäo.
.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
Informações dadas:
- A variável externa é
e varia em . - Para cada
fixo, a variável interna varia de até (isto é, ). - A função integranda é
(não foi dada mais informação sobre ).
O objetivo é reescrever a mesma integral trocando a ordem de integração (primeiro integrar em
, depois em
), obtendo limites de integração apropriados.
Passo 2
Descrever a região de integração no plano
.
A integral original integra
sobre a região
Isso significa: para cada
entre
e
, escolhe-se
entre
e
. Geometricamente,
é o conjunto de pontos abaixo da curva
, para
no intervalo dado, e acima do eixo
.
Passo 3
Encontrar os limites quando invertermos a ordem: para cada
fixo, quais valores de
pertencem a
?
Partimos da desigualdade que define
:
A função
é contínua e estritamente crescente em
, com
e
. Como é estritamente crescente, ela tem inversa no intervalo considerado, dada por
(ou
). Assim, a condição
é equivalente a
(para
).
Além disso, visto que
toma todos os valores em
quando
percorre
, os possíveis valores de
em
são todos
com
Portanto, para um dado
, os
que pertencem a
são aqueles que satisfazem
Passo 4
Concluir os novos limites e escrever a integral com ordem trocada.
Pelos passos anteriores, a integral sobre
pode ser escrita, trocando a ordem, como
Observações técnicas e didáticas:
- Note que o limite superior
envolve o caso limite ; a expressão acima é uma integral imprópria em quando é grande, mas isso é o esperado porque a região vai até . Para que a troca de ordem seja válida sem entraves é preciso que seja um pouco bem-comportada (por exemplo, ou seja integrável em ); estas são as hipóteses usuais do Teorema de Fubini/Tonelli que permitem trocar integrais. - Resumindo a ideia prática: primeiro caracterizar a região
, depois para cada descobrir o intervalo de usando a inversa da curva limite .
Passo 5
Exemplo rápido para fixar a ideia (opcional mas útil): se
a integral original é a área de
. A integral original dá
que é imprópria e diverge (correto, porque a área sob
até
é infinita). Com a ordem trocada obtemos
que também diverge — coerente. Esse exemplo ajuda a ver que os limites invertidos estão corretos.