Inverta a ordem de integraçäo.
\int_{0}^{\pi/2}\left[\int_{0}^{\operatorname{tg} x} f(x, y) d y\right] d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{\pi/2}\left[\int_{0}^{\operatorname{tg} x} f(x,y)\,dy\right]dx.
Informações dadas:
  • A variável externa é x e varia em [0,\pi/2].
  • Para cada x fixo, a variável interna y varia de 0 até \operatorname{tg} x (isto é, \tan x).
  • A função integranda é f(x,y) (não foi dada mais informação sobre f).
O objetivo é reescrever a mesma integral trocando a ordem de integração (primeiro integrar em x, depois em y), obtendo limites de integração apropriados.

Passo 2

Descrever a região de integração no plano (x,y).
A integral original integra f sobre a região
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\;0\le y\le \tan x\}.
Isso significa: para cada x entre 0 e \tfrac{\pi}{2}, escolhe-se y entre 0 e \tan x. Geometricamente, R é o conjunto de pontos abaixo da curva y=\tan x, para x no intervalo dado, e acima do eixo y=0.

Passo 3

Encontrar os limites quando invertermos a ordem: para cada y fixo, quais valores de x pertencem a R?
Partimos da desigualdade que define R:
0\le y \le \tan x,\qquad 0\le x\le \tfrac{\pi}{2}.
A função \tan x é contínua e estritamente crescente em [0,\tfrac{\pi}{2}), com \tan 0=0 e \lim_{x\to\pi/2^-}\tan x=+\infty. Como é estritamente crescente, ela tem inversa no intervalo considerado, dada por \arctan y (ou \tan^{-1}y). Assim, a condição y\le\tan x é equivalente a x\ge\arctan y (para y\ge0).
Além disso, visto que \tan x toma todos os valores em [0,+\infty) quando x percorre [0,\tfrac{\pi}{2}), os possíveis valores de y em R são todos y com
0\le y<+\infty.
Portanto, para um dado y\ge0, os x que pertencem a R são aqueles que satisfazem
\arctan y \le x \le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Concluir os novos limites e escrever a integral com ordem trocada.
Pelos passos anteriores, a integral sobre R pode ser escrita, trocando a ordem, como
\int_{0}^{\infty}\left[\int_{\arctan y}^{\pi/2} f(x,y)\,dx\right]dy.
Observações técnicas e didáticas:
  • Note que o limite superior \pi/2 envolve o caso limite x\to\pi/2^-; a expressão acima é uma integral imprópria em x quando y é grande, mas isso é o esperado porque a região vai até y\to\infty. Para que a troca de ordem seja válida sem entraves é preciso que f seja um pouco bem-comportada (por exemplo, f\ge0 ou f seja integrável em R); estas são as hipóteses usuais do Teorema de Fubini/Tonelli que permitem trocar integrais.
  • Resumindo a ideia prática: primeiro caracterizar a região R, depois para cada y descobrir o intervalo de x usando a inversa da curva limite y=\tan x.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar a ideia (opcional mas útil): se f(x,y)=1 a integral original é a área de R. A integral original dá
\int_{0}^{\pi/2}\tan x\,dx,
que é imprópria e diverge (correto, porque a área sob \tan x até \pi/2 é infinita). Com a ordem trocada obtemos
\int_{0}^{\infty}\left(\int_{\arctan y}^{\pi/2}1\,dx\right)dy =\int_{0}^{\infty}\left(\tfrac{\pi}{2}-\arctan y\right)dy,
que também diverge — coerente. Esse exemplo ajuda a ver que os limites invertidos estão corretos.

Resposta

\int_{0}^{\pi/2}\left[\int_{0}^{\operatorname{tg} x} f(x,y)\,dy\right]dx = \int_{0}^{\infty}\left[\int_{\arctan y}^{\pi/2} f(x,y)\,dx\right]dy.

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