Inverta a ordem de integração:
integral0^pi / 4 integralsin (x)^cos (x) f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado é o integral
integral0^pi/4integralsin(x)^cos(x)f(x,y),dy,dx
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini e descrição da região
R=(x,y)mid 0<= x<=pi/4,;sin(x)<= y<=cos(x)

Passo 2

Para entender os limites, note que as curvas y=sin(x) e y=cos(x) se intersectam em
x=pi/4, y=sin(pi/4)=cos(pi/4)=raiz22
Em x=0 variam de y=sin(0)=0 até y=cos(0)=1. A região R fica entre essas duas curvas e as retas verticais x=0 e x=pi/4.

Passo 3

Para inverter, fixamos y e achamos o intervalo de x tal que sin(x)<= y<=cos(x) com 0<= x<=pi/4. Há dois casos:
  1. Se 0<= y<=raiz22:
    cos(x)>= y é sempre verdade em [0,pi/4], e sin(x)<= y
    x<=arcsin(y)
    Logo 0<= x<=arcsin(y).
  2. Se raiz22<= y<=1:
    sin(x)<= y é sempre verdade em [0,pi/4], e cos(x)>= y
    x<=arccos(y)
    Logo 0<= x<=arccos(y).

Passo 4

Substituindo, o integral vira a soma de dois integrals em y:
integral0^raiz22!!integral0^arcsin(y)f(x,y),dx,dy ;+; integralraiz22^1!!integral0^arccos(y)f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^pi/4integralsin(x)^cos(x)f(x,y),dy,dx = integral0^raiz22integral0^arcsin(y)f(x,y),dx,dy + integralraiz22^1integral0^arccos(y)f(x,y),dx,dy

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