Questão 1. Para a curva dada por r(t)=lang<=13 t^3, 12 t^2, trang<=, determine (a) o vetor tangente unitário, (b) o vetor normal unitário e (c) a curvatura no ponto t=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
r(t)=llang<=tfrac13t^3,tfrac12t^2,trrang<=
e pede, em t=0, (a) o vetor tangente unitário T, (b) o vetor normal unitário N e (c) a curvatura kappa. Vamos usar derivadas de vetores, definição de T e N e a fórmula da curvatura em termos de produto vetorial.

Passo 2

Calcular r'(t), a velocidade |r'(t)| e T(t)=r'(t)/|r'(t)|.
r'(t)=llang<= t^2,;t,;1rrang<=,
|r'(t)|=raizt^4+t^2+1,
T(t)=lang<= t^2,t,1rang<=raizt^4+t^2+1
Em t=0 temos r'(0)=lang<=0,0,1rang<= e |r'(0)|=1, logo
T(0)=lang<=0,0,1rang<=

Passo 3

Para o vetor normal usamos N(t)=T'(t)/|T'(t)|. Primeiro
r''(t)=lang<=2t,1,0rang<=,
e
ddt|r'(t)| =4t^3+2t2raizt^4+t^2+1 =2t^3+traizt^4+t^2+1
Então
T'(t) =r''(t),|r'(t)|-r'(t),ddt|r'(t)||r'(t)|^2
Em t=0 isso vira T'(0)=lang<=0,1,0rang<=, cuja norma é 1. Portanto
N(0)=lang<=0,1,0rang<=

Passo 4

A curvatura é dada por
kappa(t) =|r'(t)timesr''(t)||r'(t)|^3
Em t=0 temos
r'(0)timesr''(0) =lang<=0,0,1rang<=timeslang<=0,1,0rang<= =lang<=-1,0,0rang<=,
|lang<=-1,0,0rang<=|=1 e |r'(0)|=1. Logo
kappa(0)=1

Resposta

(a) T(0)=lang<=0,0,1rang<=
(b) N(0)=lang<=0,1,0rang<=
(c) kappa(0)=1

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