Determine o maior comprimento de uma coluna W310 \times 67 de aço estrutural A-36, se ela estiver apoiada por pinos e for submetida a uma carga axial de 1.000 kN . Use as equações AISC.
\begin{array}{cll} \sigma_{\mathrm{adm}}=\frac{12 \pi^{2} E}{23(K L / r)^{2}} & \left(\frac{K L}{r}\right)_{c} & \leq \frac{K L}{r} \leq 200 \quad(13.21) \text { Colunas longas } \\ & \frac{1}{2} \sigma_{\mathrm{e}}=\frac{\pi^{2} E}{(K L / r)_{c}^{2}} & \\ \left(\frac{K L}{r}\right)_{c}=\sqrt{\frac{2 \pi^{2} E}{\sigma_{\mathrm{e}}}} & \text { Colunas intermediárias } \quad\left[1-\frac{(K L / r)^{2}}{2(K L / r)_{c}^{2}}\right] \sigma_{\mathrm{e}} \\ & \sigma_{\mathrm{adm}}=\frac{(5 / 3)+\left[(3 / 8)(K L / r) /(K L / r)_{c}\right]-\left[(K L / r)^{3} / 8(K L / r)_{c}^{3}\right]}{(K L)} \end{array}á

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: determinar o maior comprimento L de uma coluna feita com o perfil W310 \times67, apoiada por pinos (ou seja, condição de flambagem com K=1), submetida a uma carga axial de 1{,}000\\ \text{kN}.
  • Dados fornecidos no enunciado:
    • Carga axial: P=1{,}000\\ \text{kN}=1{,}000\times10^{3}\\ \text{N}.
    • Perfil: W310 \times67 (perfil I, massa 67\\ \text{kg/m}, mas não foram fornecidos na questão os valores tabelados de área A e dos raios de giração r_x e r_y desse perfil).
    • Material: aço A-36. Vou assumir os valores padrão normalmente usados para A-36 (essas são constantes do material, não do perfil):
      • Módulo de elasticidade: E=200{,}000\\ \text{MPa}.
      • Tensão de escoamento (aprox.): \sigma_{e}=250\\ \text{MPa}.
  • O enunciado também fornece as equações AISC de projeto por flambagem (copiadas no enunciado). Essas equações definem \sigma_{\mathrm{adm}} em função de K L/r e de (K L/r)_c.
Informação importante que falta (necessária para obter L):
  • A área da seção A do perfil W310 \times67 (para calcular a tensão aplicada \sigma = P/A).
  • Os raios de giração r_x e r_y do perfil (necessários para obter r=\min(r_x,r_y), que é o que entra em K L/r e permite obter L a partir de (K L/r)).
Como o enunciado não forneceu A nem r, NÃO É POSSÍVEL obter numericamente o comprimento L. A resolução a seguir explica passo a passo o procedimento que deve ser aplicado assim que se tiver A e os r’s (mostrando também as fórmulas que você usará na prova).

Passo 2

Conceitos e fórmulas necessárias (aula rápida e direta, com significado das variáveis):
  • Definições:
    • K = coeficiente de comprimento eficaz (aqui K=1 para apoios por pinos).
    • L = comprimento da coluna (o que queremos).
    • r = raio de giração efetivo para flambagem (usar r=\min(r_x,r_y)).
    • E = módulo de elasticidade do aço ( 200{,}000\\ \text{MPa}).
    • \sigma_{e} = tensão de escoamento do aço (usar \,250\\ \text{MPa}, valor típico para A-36).
    • \sigma_{\mathrm{adm}} = tensão admissível por flambagem determinada pelas equações AISC fornecidas.
    • P = carga axial (aqui 1{,}000\\ \text{kN}).
    • A = área da seção transversa do perfil (valor tabelado para W310 \times67).
  • Tensão solicitante (tensão atuante devido à carga): \sigma = \frac{P}{A}.Essa tensão deve ser menor ou igual à \sigma_{\mathrm{adm}} correspondente ao \dfrac{K L}{r} da coluna.
  • AISC define uma quantidade crítica (K L / r)_{c} que separa comportamento intermediário e elástico: \left(\frac{K L}{r}\right)_{c}=\sqrt{\frac{2\pi^{2}E}{\sigma_{e}}}.Substituindo E=200{,}000\\ \text{MPa} e \sigma_{e}=250\\ \text{MPa} obtém‑se numericamente: \left(\frac{K L}{r}\right)_{c} =\sqrt{\frac{2\pi^{2}\cdot200{,}000}{250}} \approx 125{,}7\\ \text{(adimensional)}.Interpretação: se o valor de K L / r da coluna for menor que esse número, a coluna está na região intermediária/inalástica; se for maior, está na região de colunas longas (elásticas).
  • As duas expressões principais fornecidas (reescrevendo de forma prática):
    • Região de colunas longas (quando (K L / r)\ge (K L / r)_c ): \sigma_{\mathrm{adm}}=\frac{12\pi^{2}E}{23\,(K L / r)^{2}}.
    • Região intermediária/inelástica (quando (K L / r)\le (K L / r)_c ) — uma forma apresentada foi: \sigma_{\mathrm{adm}}=\Bigg[\,1-\frac{(K L / r)^{2}}{2 (K L / r)_c^{2}}\,\Bigg]\sigma_{e}.(esta fórmula é a expressão padrão aproximada que aparece no enunciado; ela dá \sigma_{\mathrm{adm}} decrescendo com K L / r na faixa intermediária.)

Passo 3

Estratégia geral para encontrar o maior L (passo a passo que você deve executar em prova assim que tiver A e os r’s):
  1. Calcular a tensão solicitante: \sigma=\frac{P}{A}.
    • Aqui é imprescindível ter A (valor tabelado do W310 \times67). Sem A não se pode prosseguir numericamente.
  2. Comparar \sigma com \dfrac{1}{2}\sigma_{e} (ou, alternativamente, trabalhar com (K L / r)_c como guia):
    • Observação prática: se \sigma for grande (próximo de \sigma_{e}) então a seção é curta e a flambagem pode não governar; se \sigma for pequena, a flambagem elástica governa. Mas o procedimento robusto é achar o K L / r que produz \sigma_{\mathrm{adm}}=\sigma e verificar se esse K L / r está na região correta (intermediária ou longa).
  3. Encontrar o valor de K L / r que satisfaz \sigma_{\mathrm{adm}}(\,K L / r\,)=\sigma. Faixas e fórmulas para resolver:
    • Tentar a solução usando a expressão da região intermediária (válida para K L / r \le (K L / r)_c): \sigma =\left[\,1-\frac{(K L / r)^{2}}{2 (K L / r)_c^{2}}\,\right]\sigma_{e}.Despejando K L / r: \left(\frac{K L}{r}\right) =\sqrt{\,2 (K L / r)_{c}^{2}\left(1-\frac{\sigma}{\sigma_{e}}\right)\, }.
      • Depois de calcular esse valor, verifique se ele satisfaz \left(K L / r\right)\le \left(K L / r\right)_{c}. Se satisfizer, este é o K L / r correto.
    • Se a solução acima der \left(K L / r\right) > \left(K L / r\right)_{c}, então a região correta é a de colunas longas; use então a fórmula das colunas longas: \sigma =\frac{12\pi^{2}E}{23\,(K L / r)^{2}}, \qquad\text{ou seja}\qquad \left(\frac{K L}{r}\right) =\sqrt{\frac{12\pi^{2}E}{23\,\sigma}}.
      • Verifique que esse valor satisfaz \left(K L / r\right)\ge \left(K L / r\right)_{c}. Se satisfizer, este é o K L / r correto.
  4. Após obter o valor consistente de \dfrac{K L}{r}, calcular L usando K=1: L_{\max}=\frac{K L}{r}\cdot r = \left(\frac{K L}{r}\right)\cdot r.
    • Lembre de usar r=\min(r_x,r_y) (pegar o menor dos dois raios de giração do perfil, pois a flambagem ocorrerá no plano com menor rigidez à flexão).
  5. Unidades: usar consistência. Se E e \sigma em MPa, A em \text{mm}^2, P em N, então \sigma=P/A em MPa e o valor de L virá em mm quando r estiver em mm. Converta para metros ao final se quiser.

Passo 4

Exemplo simbólico (mostrando todas as contas que você faria com os números tabelados):
  • Suponha que, ao consultar a tabela do fabricante (ou a tabela AISC), você ache:
    • A do W310 \times67 (em \text{mm}^{2}).
    • r_x e r_y (em mm). Então escolha r=\min(r_x,r_y).
  • Calcule \sigma: \sigma=\frac{P}{A}=\frac{1{,}000\times10^{3}}{A}\\ \text{(N/mm}^2\text{)}=\frac{1{,}000{,}000}{A}\\ \text{MPa}(lembre que 1\\ \text{N/mm}^2=1\\ \text{MPa}).
  • Calcule \left(K L / r\right)_{c} (já fizemos): \left(\frac{K L}{r}\right)_{c}\approx125{,}7.
  • Tente a solução intermediária: \left(\frac{K L}{r}\right)_{\text{int}} =\sqrt{\,2 \left(\frac{K L}{r}\right)_{c}^{2}\left(1-\frac{\sigma}{\sigma_{e}}\right)\, }.
    • Se \left(\dfrac{K L}{r}\right)_{\text{int}}\le125{,}7, adote esse valor.
    • Caso contrário, compute a solução da região longa: \left(\frac{K L}{r}\right)_{\text{long}} =\sqrt{\frac{12\pi^{2}E}{23\,\sigma}}.
      • E verifique que esse resultado é \ge125{,}7. Se for, adote‑o.
  • Finalmente: L_{\max}=\left(\frac{K L}{r}\right)_{\text{adotado}}\cdot r.Converta para metros se r estiver em mm (divida por 1000).

Passo 5

Observações finais, dicas de prova e coisas para não esquecer:
  • É obrigatório usar r=\min(r_x,r_y) (a flambagem ocorre no plano mais fraco).
  • A área A e r’s são dados tabelados para o perfil W310 \times67 — não os invente; consulte a tabela do fabricante ou a tabela normalizada (AISC / catálogo de perfis).
  • Cheque sempre se o K L / r que você encontrou está na faixa de validade da fórmula usada (intermediária ou longa).
  • Atenção às unidades: escolha um sistema (por exemplo MPa e mm) e mantenha‑o.
  • Se for preciso, arredonde o resultado final para uma casa significativa compatível com a precisão dos dados tabelados (normalmente 2 dígitos significativos em L).

Resposta

Não é possível determinar numericamente o maior comprimento L porque faltam os dados tabelados da seção W310 \times67: a área A e os raios de giração r_x e r_y. Forneça esses valores (ou consulte a tabela do perfil) e eu aplico imediatamente o procedimento acima e calculo L_{\max}.

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