Um investidor aplica R$40.000,00a1,8 \%ao mês por 8 meses. O montante é aplicado em uma renda mensal de 12 pagamentos iguais, a1 \% ao mês. Determine o valor das parcelas.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Capital inicial: C_0 = R\$\,40.000,00.
Taxa do primeiro período: i_1 = 1,8\% ao mês, ou seja i_1 = 0,018 (mensal).
Tempo do primeiro investimento: n_1 = 8 meses.
Depois desses 8 meses o montante obtido é aplicado para pagar uma renda mensal de n_2 = 12 pagamentos iguais.
Taxa da renda mensal: i_2 = 1\% ao mês, ou seja i_2 = 0,01 (mensal).
O enunciado pede: determinar o valor de cada parcela (o valor das 12 parcelas iguais).
Resumo do que faremos (apenas para organizar): primeiro calculamos o montante acumulado depois dos 8 meses; depois usamos esse montante como o valor presente que financia uma anuidade de 12 prestações a 1\% ao mês e calculamos a prestação.
Passo 2
Calcular o montante depois de 8 meses usando juros compostos.
Fórmula dos juros compostos:
M = C_0(1+i_1)^{n_1},
onde M é o montante, C_0 o capital inicial, i_1 a taxa por período e n_1 o número de períodos.
Substituindo os valores:
M = R\$\,40.000,00\cdot(1+0,018)^{8}=R\$\,40.000,00\cdot(1,018)^{8}.
Vamos calcular (1,018)^{8} passo a passo (multiplicando sucessivamente):
M \approx R\$\,40.000,00\cdot1,153406046 \approx R\$\,46.136,24.
(Arredondei o centavo final para duas casas: M \approx R\$\,46.136,24.)]
Passo 3
Relacionar o montante com a anuidade e apresentar a fórmula da anuidade imediata.
A situação é: o montante M que acabou de ser obtido será usado para pagar n_2=12 parcelas iguais R ao final de cada mês, com taxa i_2=0,01 por mês. Para uma anuidade imediata (pagamentos ao final de cada período) vale:
\text{PV} = R\cdot a_{\overline{n_2}|i_2},
onde \text{PV} é o valor presente da anuidade (no instante em que começa a série de pagamentos) e
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}
é o fator de valor presente de uma anuidade com n prestações e taxa i por período.
Aqui a ideia é: o montante M é exatamente o valor presente que irá financiar as 12 prestações, então \text{PV}=M. Logo
M = R\cdot\frac{1-(1+i_2)^{-12}}{i_2}.
Passo 4
Calcular o fator da anuidade \displaystyle a_{\overline{12}|0,01}.
Primeiro calculemos (1+i_2)^{12}=(1,01)^{12} passo a passo:
Substituindo M\approx R\$\,46.136,24 e a_{\overline{12}|0,01}\approx11,2551:
R \approx \frac{R\$\,46.136,24}{11,2551}\approx R\$\,4.099,23.
Fazendo uma verificação aproximada: 11,2551\cdot R\$\,4.099,23 \approx R\$\,46.136,24, o que confere com o montante calculado.
Passo 6
Interpretação final e comentário motivador.
Então cada uma das 12 prestações mensais (pagas ao final de cada mês) vale aproximadamente R\$\,4.099,23. Boa! Você transformou um investimento inicial em uma renda mensal estável — e já viu na prática a fórmula do montante composto e a fórmula do valor presente de uma anuidade. Dá para usar esse mesmo passo a passo para outros números: primeiro acumula o montante, depois usa a fórmula da anuidade para encontrar a parcela.