Um investidor aplica R$ 40.000,00a 1,8 \%ao mês por 8 meses. O montante é aplicado em uma renda mensal de 12 pagamentos iguais, a 1 \% ao mês. Determine o valor das parcelas.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Capital inicial: C_0 = R\$\,40.000,00.
  • Taxa do primeiro período: i_1 = 1,8\% ao mês, ou seja i_1 = 0,018 (mensal).
  • Tempo do primeiro investimento: n_1 = 8 meses.
  • Depois desses 8 meses o montante obtido é aplicado para pagar uma renda mensal de n_2 = 12 pagamentos iguais.
  • Taxa da renda mensal: i_2 = 1\% ao mês, ou seja i_2 = 0,01 (mensal).
  • O enunciado pede: determinar o valor de cada parcela (o valor das 12 parcelas iguais).
Resumo do que faremos (apenas para organizar): primeiro calculamos o montante acumulado depois dos 8 meses; depois usamos esse montante como o valor presente que financia uma anuidade de 12 prestações a 1\% ao mês e calculamos a prestação.

Passo 2

Calcular o montante depois de 8 meses usando juros compostos.
Fórmula dos juros compostos:
M = C_0(1+i_1)^{n_1},
onde M é o montante, C_0 o capital inicial, i_1 a taxa por período e n_1 o número de períodos.
Substituindo os valores:
M = R\$\,40.000,00\cdot(1+0,018)^{8}=R\$\,40.000,00\cdot(1,018)^{8}.
Vamos calcular (1,018)^{8} passo a passo (multiplicando sucessivamente):
\begin{aligned} (1,018)^2 &= 1,036324,\\[4pt] (1,018)^4 &= (1,036324)^2 \approx 1,073967432,\\[4pt] (1,018)^8 &= (1,073967432)^2 \approx 1,153406046. \end{aligned}
Portanto
M \approx R\$\,40.000,00\cdot1,153406046 \approx R\$\,46.136,24.
(Arredondei o centavo final para duas casas: M \approx R\$\,46.136,24.)]

Passo 3

Relacionar o montante com a anuidade e apresentar a fórmula da anuidade imediata.
A situação é: o montante M que acabou de ser obtido será usado para pagar n_2=12 parcelas iguais R ao final de cada mês, com taxa i_2=0,01 por mês. Para uma anuidade imediata (pagamentos ao final de cada período) vale:
\text{PV} = R\cdot a_{\overline{n_2}|i_2},
onde \text{PV} é o valor presente da anuidade (no instante em que começa a série de pagamentos) e
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}
é o fator de valor presente de uma anuidade com n prestações e taxa i por período.
Aqui a ideia é: o montante M é exatamente o valor presente que irá financiar as 12 prestações, então \text{PV}=M. Logo
M = R\cdot\frac{1-(1+i_2)^{-12}}{i_2}.

Passo 4

Calcular o fator da anuidade \displaystyle a_{\overline{12}|0,01}.
Primeiro calculemos (1+i_2)^{12}=(1,01)^{12} passo a passo:
\begin{aligned} (1,01)^2 &= 1,0201,\\[4pt] (1,01)^4 &= 1,0201^2 \approx 1,04060401,\\[4pt] (1,01)^8 &= 1,04060401^2 \approx 1,08285566502407,\\[4pt] (1,01)^{12} &= (1,01)^8\cdot(1,01)^4 \approx 1,08285566502407\cdot1,04060401 \approx 1,12682394727526. \end{aligned}
Logo
(1,01)^{-12}=\frac{1}{(1,01)^{12}}\approx\frac{1}{1,12682394727526}\approx0,887449.
Agora o fator da anuidade:
a_{\overline{12}|0,01}=\frac{1-(1,01)^{-12}}{0,01} \approx\frac{1-0,887449}{0,01}=\frac{0,112551}{0,01}\approx11,2551.]

Passo 5

Isolar R e calcular o valor da parcela.
Da equação de equivalência:
M = R\cdot a_{\overline{12}|0,01}
temos
R = \frac{M}{a_{\overline{12}|0,01}}.
Substituindo M\approx R\$\,46.136,24 e a_{\overline{12}|0,01}\approx11,2551:
R \approx \frac{R\$\,46.136,24}{11,2551}\approx R\$\,4.099,23.
Fazendo uma verificação aproximada: 11,2551\cdot R\$\,4.099,23 \approx R\$\,46.136,24, o que confere com o montante calculado.

Passo 6

Interpretação final e comentário motivador.
Então cada uma das 12 prestações mensais (pagas ao final de cada mês) vale aproximadamente R\$\,4.099,23. Boa! Você transformou um investimento inicial em uma renda mensal estável — e já viu na prática a fórmula do montante composto e a fórmula do valor presente de uma anuidade. Dá para usar esse mesmo passo a passo para outros números: primeiro acumula o montante, depois usa a fórmula da anuidade para encontrar a parcela.

Resposta

R\$\,4.099,23

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