Um financiamento de RS 30.000,00 será pago em 24 parcelas mensais iguais, à taxa de 1,5 \% ao mês. Após pagar 10 parcelas, o cliente decide quitar o saldo devedor usando desconto comercial simples de 2 \% ao mês. Calcule o valor da quitação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o valor de quitação agora:
  • Empréstimo (valor presente): R$ 30.000,00.
  • Parcelas: 24 parcelas mensais iguais.
  • Taxa contratual por mês: i=1{,}5\% (isto é, i=0{,}015).
  • Já foram pagas 10 parcelas; restam 14 parcelas.
  • Para quitar agora, será aplicado desconto comercial simples de 2\% ao mês (isto é, d=0{,}02) sobre as parcelas vincendas.
O que se pede: calcular o valor que o cliente deve pagar hoje para quitar o saldo devedor usando o desconto comercial simples de 2\% ao mês sobre as 14 parcelas restantes.

Passo 2

Primeiro precisamos calcular o valor da parcela mensal nivelada (anuidade) A. Para um empréstimo com valor presente PV, taxa i e número de parcelas n, a parcela A (sistema de prestações constantes) é dada pela fórmula da anuidade imediata:
A=\dfrac{PV\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}.
Aqui PV=R\$\,30.000,00, i=0{,}015 e n=24.
Calculemos os termos intermediários. Primeiro
(1+i)^{24}=(1{,}015)^{24}\approx 1{,}4294959746,
portanto
(1+i)^{-24}\approx 0{,}6995469330.
Logo o denominador da fórmula é
1-(1+i)^{-24}\approx 0{,}3004530670.
Substituindo em A:
A=\dfrac{30000\cdot0{,}015}{0{,}3004530670}=\dfrac{450}{0{,}3004530670}\approx 1497{,}737897.
Portanto a parcela mensal vale aproximadamente R$ 1.497,74.
(Comentário amigo: essa fórmula vem da soma da progressão geométrica que representa o valor presente das parcelas. Se quiser, posso mostrar a dedução passo a passo, mas por enquanto seguimos com o cálculo prático.)

Passo 3

Explicação do que resta ser pago antes do desconto: após 10 pagamentos restam 14 parcelas de valor A cada. O saldo devedor contábil (sem desconto) imediatamente após o pagamento da décima parcela é o valor presente das 14 parcelas vincendas à taxa contratual i:
\text{Saldo\_contábil}=A\cdot\frac{1-(1+i)^{-14}}{i}.á
Isso é só para referência e comparação; vamos calcular o valor que o cliente pagará aplicando o desconto comercial simples sobre cada parcela vencida.

Passo 4

Desconto comercial simples: esse desconto é aplicado diretamente sobre o valor nominal de cada título/parcel a, proporcional ao tempo (em meses) até o vencimento. Se uma parcela A vence daqui a t meses, seu valor de quitação hoje, com desconto comercial de taxa d por mês, é
A_{\text{liquidado}}=A\cdot\bigl(1-d\cdot t\bigr).
No nosso caso restam 14 parcelas, vencendo respectivamente em t=1,2,\dots,14 meses. Então o valor total a pagar hoje, S, é
S=\sum_{t=1}^{14} A\bigl(1-d\,t\bigr) = A\sum_{t=1}^{14}\bigl(1-d\,t\bigr).
Calcule a soma:
\sum_{t=1}^{14}1=14,\qquad \sum_{t=1}^{14} t=\frac{14\cdot15}{2}=105.
Portanto
\sum_{t=1}^{14}\bigl(1-d\,t\bigr)=14-d\cdot105.
Com d=0{,}02 obtemos
14-d\cdot105=14-0{,}02\cdot105=14-2{,}1=11{,}9.
Assim
S=A\cdot 11{,}9.
Substituindo A\approx1497{,}737897:
S\approx 1497{,}737897\times11{,}9 \approx 17\,823{,}0809743.
Arredondando para centavos, o valor da quitação é R$ 17.823,08.

Resposta

R$ 17.823,08

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