Um investidor recebe
2.000,00
1 %$ ao mês, determine o valor atual dessa renda.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Pagamento mensal (anuidade):
a cada mês. - Duração:
anos, ou seja pagamentos mensais. - Taxa de juros:
ao mês, isto é . - Pergunta: determinar o valor atual (valor presente) dessa renda, isto é o valor em reais hoje equivalente a receber
por mês durante meses a ao mês.
Passo 2
Conceito básico e ideia da solução (sem cálculos ainda):
Cada pagamento
recebido no final do mês
vale menos hoje; para trazê‑lo a valor presente multiplica‑se por
. O valor presente total
é a soma dos valores presentes de todos os pagamentos:
Isto é uma soma geométrica decrescente. Vamos transformar essa soma numa fórmula fechada (fácil de calcular na prova) e então substituir os números.
Passo 3
Derivação passo a passo da fórmula do valor presente de uma anuidade-imediata (pagamentos no fim de cada período).
Definimos
(o fator de desconto por período). Então cada termo é
e
A soma geométrica
tem soma conhecida. Usando a fórmula da soma finita:
Substituindo voltamos para
: note que
. Portanto
Como
, obtemos a fórmula padrão mais usada:
Onde:
-
é o valor presente que queremos, -
é o pagamento periódico ( ), -
é a taxa por período ( ), -
é o número de períodos ( ).
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números do enunciado.
Substituindo
,
,
:
Precisamos calcular
e então o inverso
. Uma forma prática na prova (sem calculadora) é usar tabelas ou aproximar com logaritmo; aqui mostro o valor numérico aproximado (arredondado adequadamente):
Passo 5
Continuando os cálculos numéricos:
Calcule o fator anuidade
Agora multiplica pelo pagamento
:
Arredondando para centavos (moeda):
Passo 6
Interpretação rápida e checagem intuitiva:
- Sem juros, a soma nominal seria
. - Com desconto a
ao mês, o valor presente é menor: . Faz sentido: receber no futuro vale menos hoje. - Se precisar na prova, explique a fórmula e faça um cálculo com tabela ou calculadora financeira para obter o mesmo resultado.