Um investidor recebe \mathrm{R} \ 2.000,00 por mês durante 3 anos. Considerando taxa deê1 %$ ao mês, determine o valor atual dessa renda.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Pagamento mensal (anuidade): R = \mathrm{R}\$\,2{,}000{,}00 a cada mês.
  • Duração: 3 anos, ou seja n = 3\cdot 12 = 36 pagamentos mensais.
  • Taxa de juros: i = 1\% ao mês, isto é i = 0{,}01.
  • Pergunta: determinar o valor atual (valor presente) dessa renda, isto é o valor em reais hoje equivalente a receber R por mês durante 36 meses a 1\% ao mês.

Passo 2

Conceito básico e ideia da solução (sem cálculos ainda):
Cada pagamento \,R recebido no final do mês k vale menos hoje; para trazê‑lo a valor presente multiplica‑se por (1+i)^{-k}. O valor presente total \,PV é a soma dos valores presentes de todos os pagamentos:
PV = \sum_{k=1}^{n} R(1+i)^{-k}.
Isto é uma soma geométrica decrescente. Vamos transformar essa soma numa fórmula fechada (fácil de calcular na prova) e então substituir os números.

Passo 3

Derivação passo a passo da fórmula do valor presente de uma anuidade-imediata (pagamentos no fim de cada período).
Definimos v = \dfrac{1}{1+i} (o fator de desconto por período). Então cada termo é R v^{k} e
PV = \sum_{k=1}^{n} R v^{k} = R\big(v + v^{2} + \cdots + v^{n}\big).
A soma geométrica \;v+v^{2}+\cdots+v^{n}\; tem soma conhecida. Usando a fórmula da soma finita:
v + v^{2} + \cdots + v^{n} = v\frac{1 - v^{n}}{1 - v}.
Substituindo voltamos para i: note que 1-v = 1 - \dfrac{1}{1+i} = \dfrac{i}{1+i}. Portanto
PV = R\cdot v\frac{1 - v^{n}}{1 - v} = R\cdot \frac{1}{1+i}\cdot \frac{1-v^{n}}{\dfrac{i}{1+i}} = R\cdot \frac{1 - v^{n}}{i}.
Como v^{n}=(1+i)^{-n}, obtemos a fórmula padrão mais usada:
\boxed{\,PV = R\cdot\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\,}
Onde:
  • PV é o valor presente que queremos,
  • R é o pagamento periódico ( \mathrm{R}\$\,2{,}000{,}00),
  • i é a taxa por período ( 0{,}01),
  • n é o número de períodos ( 36).

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números do enunciado.
Substituindo R=2000, i=0{,}01, n=36:
PV = 2000\cdot\frac{1 - (1{,}01)^{-36}}{0{,}01}.
Precisamos calcular (1{,}01)^{36} e então o inverso (1{,}01)^{-36}. Uma forma prática na prova (sem calculadora) é usar tabelas ou aproximar com logaritmo; aqui mostro o valor numérico aproximado (arredondado adequadamente):
(1{,}01)^{36} \approx 1{,}430768783\qquad\Rightarrow\qquad (1{,}01)^{-36} \approx 0{,}69892493.

Passo 5

Continuando os cálculos numéricos:
Calcule o fator anuidade
a_{36} = \frac{1 - (1{,}01)^{-36}}{0{,}01} = \frac{1 - 0{,}69892493}{0{,}01} \approx \frac{0{,}30107507}{0{,}01} \approx 30{,}107507.
Agora multiplica pelo pagamento R:
PV = 2000 \times 30{,}107507 \approx 60{,}215{,}014.
Arredondando para centavos (moeda):
PV \approx \mathrm{R}\$\,60{,}215{,}01.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem intuitiva:
  • Sem juros, a soma nominal seria 2000\times 36 = \mathrm{R}\$\,72{,}000{,}00.
  • Com desconto a 1\% ao mês, o valor presente é menor: \mathrm{R}\$\,60{,}215{,}01. Faz sentido: receber no futuro vale menos hoje.
  • Se precisar na prova, explique a fórmula e faça um cálculo com tabela ou calculadora financeira para obter o mesmo resultado.

Resposta

\mathrm{R}\$\,60{,}215{,}01

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