Um investigador pretende estudar a incidência a nível nacional, de uma doença que ataca os pinheiros. Observações efetuadas através do país resultaram em 1233 casos de pinheiros afetados (a nível nacional) num total de 4250 observações.
a) Estime a percentagem de pinheiros afetados a nível nacional.
b) Determine um intervalo a 95% de confiança para a proporção de pinheiros afetados.

Passo 1

O enunciado dá 1233 pinheiros afetados em 4250 observações e pede:
– (a) estimar a percentagem nacional de pinheiros afetados;
– (b) um intervalo de confiança de 95\% para essa proporção.
O conteúdo é intervalo de confiança para proporção de uma amostra, usando aproximação normal.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral \hat p:
\hat p = \frac{1233}{4250} \approx 0,2901.
Em percentagem, isso equivale a
\hat p \times 100\% \approx 29{,}01\%.

Passo 3

Para um intervalo de confiança de 95\%, usamos a fórmula
\hat p \pm z_{0,975}\,\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},
onde z_{0,975}=1{,}96 é o quantil da normal padrão que deixa 2{,}5\% em cada cauda e n=4250.

Passo 4

Calculamos o erro padrão
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,2901\,(1-0,2901)}{4250}} \approx 0,00696.
A margem de erro é
E = z_{0,975}\times \mathrm{SE} = 1{,}96\times 0,00696 \approx 0,01364.

Passo 5

O intervalo de confiança em proporção é
0,2901 \pm 0,01364 = [0,2765,\;0,3037].
Convertendo para percentagem, fica aproximadamente
[27{,}65\%,\;30{,}37\%].

Resposta

a) A estimativa pontual é 29{,}01\%.
b) O intervalo de confiança de 95\% para a percentagem de pinheiros afetados é aproximadamente
[27{,}65\%;\;30{,}37\%].

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