Uma pesquisa realizada com 8.400 habitantes de uma cidade, escolhidos aleatoriamente, revelou que 70 \% deles estavam satisfeitos com o desempenho do prefeito. Considere que é normal a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes satisfeitos com o desempenho do prefeito. Considerando a cidade com uma população de tamanho infinito, construa o intervalo de confiança para esta proporção ao nível de confiança de 95 \%, com base no resultado da amostra.

Passo 1

O enunciado traz uma amostra de tamanho n=8400 e encontrou proporção amostral de habitantes satisfeitos com o prefeito igual a \hat p=0,70. Pede o intervalo de confiança de 95\% para a proporção populacional p, supondo população infinita e usando aproximação normal.

Passo 2

Para que a distribuição amostral de \hat p seja aproximadamente normal, precisamos de n\hat p\ge5 e n(1-\hat p)\ge5. Aqui
n\hat p =8400\cdot0,70=5880\ge5,
n(1-\hat p)=8400\cdot0,30=2520\ge5,
logo a condição está garantida.

Passo 3

O intervalo de confiança de nível 95\% para proporção é dado por
\hat p \pm z_{0,975}\,\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}},
onde z_{0,975}=1,96 é o quantil da normal padrão.

Passo 4

Calculamos o erro-padrão:
\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} =\sqrt{\frac{0,70\cdot0,30}{8400}} =\sqrt{\frac{0,21}{8400}} =\sqrt{0{,}000025} =0{,}005.

Passo 5

O valor de z_{0,975} multiplicado pelo erro-padrão é
1,96\times0{,}005 =0{,}0098.

Passo 6

Assim o intervalo de confiança é
0{,}70 \pm 0{,}0098 \;\longrightarrow\; [\,0{,}70-0{,}0098,\;0{,}70+0{,}0098\,] =[\,0{,}6902,\;0{,}7098\,].

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para a proporção é
[\,0{,}6902,\;0{,}7098\,].

Exercícios relacionados