Para investigar a influência da opção profissional sobre o salário inicial de recémformados, investigaram-se dois grupos de profissionais: um de liberais em geral e outro de formados em Administração de Empresas. Com os resultados abaixo, expressos em salários-mínimos, quais seriam suas conclusões? (OBS: Antes de testar a igualdade entre as médias, teste se as variâncias são iguais - homogêneas)
Liberais 6,6 10,3 10,8 12,9 9,2 12,3 7,0
Admin. 8,1 9,8 8,7 10,0 10,2 8,2 8,7 10,1
Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica. 5^{\text {a }} edição, pág 366.

Passo 1

O enunciado pede que eu compare os salários (em salários-mínimos) de dois grupos: liberais e formados em Administração. Precisamos:
  • Testar primeiro se as variâncias dos dois grupos são iguais (homogeneidade de variâncias).
  • Só depois testar se as médias dos dois grupos são iguais, usando o resultado do teste de variâncias para escolher o procedimento adequado.
Dados fornecidos:
  • Grupo Liberais: 6{,}6,\;10{,}3,\;10{,}8,\;12{,}9,\;9{,}2,\;12{,}3,\;7{,}0.
  • Grupo Admin.: 8{,}1,\;9{,}8,\;8{,}7,\;10{,}0,\;10{,}2,\;8{,}2,\;8{,}7,\;10{,}1.
Vou trabalhar com nível de significância usual \alpha=0{,}05 (se não informado, esse é o mais comum).

Passo 2

Calcular estatísticas amostrais (tamanho, soma, média) de cada grupo. Lembre-se da fórmula da média amostral: \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Para Liberais:
  • n_1=7.
  • Soma: \displaystyle \sum x_{1}=6{,}6+10{,}3+10{,}8+12{,}9+9{,}2+12{,}3+7{,}0=69{,}1.
  • Média: \displaystyle \bar{x}_1=\frac{69{,}1}{7}=9{,}8714286 (aprox).
Para Administração:
  • n_2=8.
  • Soma: \displaystyle \sum x_{2}=8{,}1+9{,}8+8{,}7+10{,}0+10{,}2+8{,}2+8{,}7+10{,}1=73{,}8.
  • Média: \displaystyle \bar{x}_2=\frac{73{,}8}{8}=9{,}225.
Interpretação prática até aqui: as médias amostrais são próximas: \bar{x}_1\approx9{,}87 e \bar{x}_2\approx9{,}23.

Passo 3

Calcular as variâncias amostrais. Vou usar a fórmula conveniente:
\displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac{(\sum_{i=1}^n x_i)^2}{n}\right).
Explico: \sum x_i^2 é a soma dos quadrados dos observados; subtrai-se (\sum x_i)^2/n para obter a soma dos quadrados das diferenças em relação à média, e divide-se por n-1 para obter a variância amostral não viesada.
Calculemos as somas dos quadrados:
Para Liberais:
\sum x_{1}^2=6{,}6^2+10{,}3^2+10{,}8^2+12{,}9^2+9{,}2^2+12{,}3^2+7{,}0^2=717{,}63.
Aplicando a fórmula:
s_1^2=\frac{717{,}63-\dfrac{(69{,}1)^2}{7}}{7-1} =\frac{717{,}63-\dfrac{4774{,}81}{7}}{6} =\frac{717{,}63-682{,}1157143}{6} =\frac{35{,}5142857}{6}=5{,}9190476.
Logo s_1^2\approx5{,}919 e s_1\approx2{,}433.
Para Administração:
\sum x_{2}^2=8{,}1^2+9{,}8^2+8{,}7^2+10{,}0^2+10{,}2^2+8{,}2^2+8{,}7^2+10{,}1^2=686{,}32.
Aplicando a fórmula:
s_2^2=\frac{686{,}32-\dfrac{(73{,}8)^2}{8}}{8-1} =\frac{686{,}32-\dfrac{5446{,}44}{8}}{7} =\frac{686{,}32-680{,}805}{7} =\frac{5{,}515}{7}=0{,}7878571.
Logo s_2^2\approx0{,}7879 e s_2\approx0{,}888.
Observação didática: veja como uma variância de 5{,}92 é bem maior que 0{,}788 — há indício visual de heterogeneidade de variâncias.

Passo 4

Testando homogeneidade das variâncias (teste F).
  • Hipóteses:
\begin{aligned} H_0 &: \sigma_1^2=\sigma_2^2,\\\ H_a &: \sigma_1^2\neq\sigma_2^2\\ (\text{teste bilateral}). \end{aligned}
  • Estatística do teste F: ponho no numerador a maior variância amostral para que F\ge1:
\displaystyle F=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\frac{5{,}9190476}{0{,}7878571}\approx7{,}515.
  • Graus de liberdade: df_1=n_1-1=6, df_2=n_2-1=7.
Interpretação prática: para \alpha=0{,}05 (bilateral), os valores críticos estão em torno de F grandes da cauda superior e seu recíproco; valores típicos de F crítico para esses df são bem menores que 7{,}515. Assim F\approx7{,}515 é muito grande, indicando evidência forte contra H_0.
Conclusão do teste de variâncias: rejeitamos H_0. Em palavras: as variâncias dos dois grupos não são homogêneas (há evidência de que a variância dos liberais é maior que a dos administradores) ao nível \alpha=0{,}05. (O p-valor associado a F\approx7{,}515 com (6,7) é pequeno, <0{,}01.)

Passo 5

Testando igualdade das médias com variâncias desiguais — uso o teste de Welch (t de Student com variâncias não assumidas iguais).
  • Hipóteses:
\begin{aligned} H_0 &: \mu_1=\mu_2,\\\ H_a &: \mu_1\neq\mu_2. \end{aligned}
  • Estatística de teste (Welch):
\displaystyle t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}}.
Substituindo valores:
\bar{x}_1-\bar{x}_2=9{,}8714286-9{,}225=0{,}6464286.
\frac{s_1^2}{n_1}=\frac{5{,}9190476}{7}=0{,}8455797,\qquad \frac{s_2^2}{n_2}=\frac{0{,}7878571}{8}=0{,}0984821.
Somando e extraindo raiz:
\sqrt{0{,}8455797+0{,}0984821}=\sqrt{0{,}9440618}=0{,}9717\\ (\text{aprox}).
Logo
t=\frac{0{,}6464286}{0{,}9717}\approx0{,}6652.
  • Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch—Satterthwaite):
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}.
Calculemos:
\text{numerador}=(0{,}9440618)^2=0{,}891252.
\text{denominador}=\frac{(0{,}8455797)^2}{6}+\frac{(0{,}0984821)^2}{7} =\frac{0{,}7140}{6}+\frac{0{,}009697}{7}\approx0{,}1190+0{,}001385=0{,}120385.
\nu\approx\frac{0{,}891252}{0{,}120385}\approx7{,}40.
Arredondando, \nu\approx7{,}4 (pense em usar \nu\approx7 ao buscar tabelas).
  • Critério de decisão: para \alpha=0{,}05 (bilateral) e \nu\approx7, o valor crítico de t é aproximadamente t_{0{,}975;\,7}\approx2{,}365. Como |t|\approx0{,}6652 < 2{,}365, não rejeitamos H_0.
Interpretação: não há evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, para afirmar que as médias dos salários iniciais dos dois grupos são diferentes.

Passo 6

Resumo interpretativo (didático e motivador):
  • As variâncias amostrais são bastante diferentes ( s_1^2\approx5{,}919 versus s_2^2\approx0{,}788); o teste F rejeita a hipótese de variâncias iguais. Isso significa que os salários dos liberais têm dispersão muito maior que os dos administradores.
  • Apesar dessa diferença na variabilidade, a diferença observada entre as médias amostrais ( \bar{x}_1\approx9{,}87 e \bar{x}_2\approx9{,}23, diferença \approx0{,}65) não é estatisticamente significativa pelo teste de Welch ( t\approx0{,}665, p>0{,}05). Ou seja, não temos evidência suficiente para dizer que a média salarial inicial difere entre os grupos.
Motivação final: dado o tamanho das amostras (pequenas) e a grande variabilidade no grupo dos liberais, é razoável que uma diferença média pequena não apareça como significativa. Isso é normal — às vezes precisamos de mais dados para detectar diferenças pequenas.

Resposta

As variâncias não são iguais (rejeita-se H_0 de homogeneidade; F\approx7{,}515, p<0{,}05).
Não há evidência significativa de diferença entre as médias dos salários iniciais ( t\approx0{,}665, não rejeita-se H_0 de igualdade das médias, ao nível \alpha=0{,}05).

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