Para investigar a influência da opção profissional sobre o salário inicial de recémformados, investigaram-se dois grupos de profissionais: um de liberais em geral e outro de formados em Administração de Empresas. Com os resultados abaixo, expressos em salários-mínimos, quais seriam suas conclusões? (OBS: Antes de testar a igualdade entre as médias, teste se as variâncias são iguais - homogêneas)
Liberais
6,6
10,3
10,8
12,9
9,2
12,3
7,0
Admin.
8,1
9,8
8,7
10,0
10,2
8,2
8,7
10,1
Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica.
edição, pág 366.
| Liberais | 6,6 | 10,3 | 10,8 | 12,9 | 9,2 | 12,3 | 7,0 | |
| Admin. | 8,1 | 9,8 | 8,7 | 10,0 | 10,2 | 8,2 | 8,7 | 10,1 |
| Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica.
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Passo 1
O enunciado pede que eu compare os salários (em salários-mínimos) de dois grupos: liberais e formados em Administração. Precisamos:
- Testar primeiro se as variâncias dos dois grupos são iguais (homogeneidade de variâncias).
- Só depois testar se as médias dos dois grupos são iguais, usando o resultado do teste de variâncias para escolher o procedimento adequado.
Dados fornecidos:
- Grupo Liberais:
. - Grupo Admin.:
.
Vou trabalhar com nível de significância usual
(se não informado, esse é o mais comum).
Passo 2
Calcular estatísticas amostrais (tamanho, soma, média) de cada grupo. Lembre-se da fórmula da média amostral:
.
Para Liberais:
-
. - Soma:
. - Média:
(aprox).
Para Administração:
-
. - Soma:
. - Média:
.
Interpretação prática até aqui: as médias amostrais são próximas:
e
.
Passo 3
Calcular as variâncias amostrais. Vou usar a fórmula conveniente:
Explico:
é a soma dos quadrados dos observados; subtrai-se
para obter a soma dos quadrados das diferenças em relação à média, e divide-se por
para obter a variância amostral não viesada.
Calculemos as somas dos quadrados:
Para Liberais:
Aplicando a fórmula:
Logo
e
.
Para Administração:
Aplicando a fórmula:
Logo
e
.
Observação didática: veja como uma variância de
é bem maior que
— há indício visual de heterogeneidade de variâncias.
Passo 4
Testando homogeneidade das variâncias (teste
).
- Hipóteses:
- Estatística do teste
: ponho no numerador a maior variância amostral para que :
- Graus de liberdade:
, .
Interpretação prática: para
(bilateral), os valores críticos estão em torno de
grandes da cauda superior e seu recíproco; valores típicos de
crítico para esses df são bem menores que
. Assim
é muito grande, indicando evidência forte contra
.
Conclusão do teste de variâncias: rejeitamos
. Em palavras: as variâncias dos dois grupos não são homogêneas (há evidência de que a variância dos liberais é maior que a dos administradores) ao nível
. (O p-valor associado a
com
é pequeno,
.)
Passo 5
Testando igualdade das médias com variâncias desiguais — uso o teste de Welch (t de Student com variâncias não assumidas iguais).
- Hipóteses:
- Estatística de teste (Welch):
Substituindo valores:
Somando e extraindo raiz:
Logo
- Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch—Satterthwaite):
Calculemos:
Arredondando,
(pense em usar
ao buscar tabelas).
- Critério de decisão: para
(bilateral) e , o valor crítico de é aproximadamente . Como , não rejeitamos .
Interpretação: não há evidência estatística suficiente, ao nível de
, para afirmar que as médias dos salários iniciais dos dois grupos são diferentes.
Passo 6
Resumo interpretativo (didático e motivador):
- As variâncias amostrais são bastante diferentes (
versus ); o teste rejeita a hipótese de variâncias iguais. Isso significa que os salários dos liberais têm dispersão muito maior que os dos administradores. - Apesar dessa diferença na variabilidade, a diferença observada entre as médias amostrais (
e , diferença ) não é estatisticamente significativa pelo teste de Welch ( , ). Ou seja, não temos evidência suficiente para dizer que a média salarial inicial difere entre os grupos.
Motivação final: dado o tamanho das amostras (pequenas) e a grande variabilidade no grupo dos liberais, é razoável que uma diferença média pequena não apareça como significativa. Isso é normal — às vezes precisamos de mais dados para detectar diferenças pequenas.
Resposta
As variâncias não são iguais (rejeita-se
de homogeneidade;
,
).
Não há evidência significativa de diferença entre as médias dos salários iniciais ( , não rejeita-se
de igualdade das médias, ao nível
).
Não há evidência significativa de diferença entre as médias dos salários iniciais (