Integrais Triplas:
Calcule \iiint_{E}(x+y+z) d V, onde:
\mathrm{E}=\{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2,0 \leq z \leq 3\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} (x+y+z)\,dV,
onde o conjunto E é o paralelepípedo dado por
E=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 2,\;0\le z\le 3\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
0\le x\le 1,
0\le y\le 2,
0\le z\le 3;
a função integranda é x+y+z;
a região é um produto de intervalos (um retângulo em 3D), portanto é um domínio “retangular” (produto cartesiano).

Passo 2

Estratégia (explicada de modo simples e prático): usar a linearidade da integral e a propriedade de separação em domínios produto. Isso significa duas coisas importantes que vou usar:
  1. Integral da soma é soma das integrais:
\iiint_{E}(x+y+z)\,dV=\iiint_{E}x\,dV+\iiint_{E}y\,dV+\iiint_{E}z\,dV.
  1. Como E é um produto de intervalos, podemos escrever cada integral tripla como produto de integrais simples (ou como uma integral iterada), por exemplo
\iiint_{E}x\,dV=\left(\int_{0}^{1}x\,dx\right)\left(\int_{0}^{2}dy\right)\left(\int_{0}^{3}dz\right).
Vou aplicar essas duas propriedades e calcular cada parte separadamente. (Essas propriedades vêm do Teorema de Fubini e da linearidade; aqui vou usá-las diretamente porque o domínio é simples.)

Passo 3

Calcular \displaystyle \iiint_{E} x\,dV.
Explicação das etapas:
  • Trate x como função apenas de x; nas integrais em y e z ela aparece como constante relativo àquelas integrais.
  • Portanto separamos em produtos de integrais simples.
Escrevendo e avaliando:
\iiint_{E} x\,dV = \left(\int_{0}^{1} x\,dx\right) \left(\int_{0}^{2} dy\right) \left(\int_{0}^{3} dz\right).
Agora calculamos cada integral simples:
\int_{0}^{1} x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1^{2}}{2}-0=\frac{1}{2},
\int_{0}^{2} dy=\big[y\big]_{0}^{2}=2,
\int_{0}^{3} dz=\big[z\big]_{0}^{3}=3.
Multiplicando:
\iiint_{E} x\,dV=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3.

Passo 4

Calcular \displaystyle \iiint_{E} y\,dV.
Mesma ideia: separar e avaliar cada integral simples.
Escrevendo:
\iiint_{E} y\,dV = \left(\int_{0}^{1} dx\right) \left(\int_{0}^{2} y\,dy\right) \left(\int_{0}^{3} dz\right).
Avaliações:
\int_{0}^{1} dx=\big[x\big]_{0}^{1}=1,
\int_{0}^{2} y\,dy=\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=\frac{4}{2}=2,
\int_{0}^{3} dz=3.
Multiplicando:
\iiint_{E} y\,dV=1\cdot 2\cdot 3=6.

Passo 5

Calcular \displaystyle \iiint_{E} z\,dV.
Novamente separar e avaliar:
\iiint_{E} z\,dV = \left(\int_{0}^{1} dx\right) \left(\int_{0}^{2} dy\right) \left(\int_{0}^{3} z\,dz\right).
Avaliações:
\int_{0}^{1} dx=1,
\int_{0}^{2} dy=2,
\int_{0}^{3} z\,dz=\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{3}=\frac{9}{2}.
Multiplicando:
\iiint_{E} z\,dV=1\cdot 2\cdot \frac{9}{2}=9.

Passo 6

Somar as três contribuições conforme a linearidade (passo 2):
\iiint_{E}(x+y+z)\,dV=\iiint_{E}x\,dV+\iiint_{E}y\,dV+\iiint_{E}z\,dV=3+6+9=18.

Resposta

\;18

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