Integrais Triplas:
Calcule
, onde:
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde o conjunto
é o paralelepípedo dado por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
,
,
;
a função integranda é ;
a região é um produto de intervalos (um retângulo em 3D), portanto é um domínio “retangular” (produto cartesiano).
a função integranda é
a região é um produto de intervalos (um retângulo em 3D), portanto é um domínio “retangular” (produto cartesiano).
Passo 2
Estratégia (explicada de modo simples e prático): usar a linearidade da integral e a propriedade de separação em domínios produto. Isso significa duas coisas importantes que vou usar:
- Integral da soma é soma das integrais:
- Como
é um produto de intervalos, podemos escrever cada integral tripla como produto de integrais simples (ou como uma integral iterada), por exemplo
Vou aplicar essas duas propriedades e calcular cada parte separadamente. (Essas propriedades vêm do Teorema de Fubini e da linearidade; aqui vou usá-las diretamente porque o domínio é simples.)
Passo 3
Calcular
.
Explicação das etapas:
- Trate
como função apenas de ; nas integrais em e ela aparece como constante relativo àquelas integrais. - Portanto separamos em produtos de integrais simples.
Escrevendo e avaliando:
Agora calculamos cada integral simples:
Multiplicando:
Passo 4
Calcular
.
Mesma ideia: separar e avaliar cada integral simples.
Escrevendo:
Avaliações:
Multiplicando:
Passo 5
Calcular
.
Novamente separar e avaliar:
Avaliações:
Multiplicando:
Passo 6
Somar as três contribuições conforme a linearidade (passo 2):