Teorema de Green e Integrais curvilineas:
Calcule usando o Teorema de Green:
onde
é o retângulo com vértices
, orientado no sentido anti-horário.
Calcule usando o Teorema de Green:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral curvilínea
onde
é o retângulo com vértices
, orientado no sentido anti-horário.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
a forma do integrando já está escrita no formato
, com
e
dependendo de
.
Passo 2
Por que usar o Teorema de Green (explicação e enunciado do teorema)?
O enunciado sugeriu “Teorema de Green” e temos uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples que delimita uma região plana (o retângulo). O Teorema de Green transforma uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região interior, o que normalmente simplifica muito o cálculo quando e
são funções simples.
O enunciado sugeriu “Teorema de Green” e temos uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples que delimita uma região plana (o retângulo). O Teorema de Green transforma uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região interior, o que normalmente simplifica muito o cálculo quando
Enunciado do Teorema de Green (forma para circulação): se
é uma curva fechada, simples e positivamente orientada que delimita uma região
no plano e
são funções com derivadas parciais contínuas em um entorno de
, então
Aqui:
-
é a componente multiplicando ; -
é a componente multiplicando ; -
é a derivada parcial de em relação a ; -
é a derivada parcial de em relação a ; -
é o elemento de área (podemos usar ou ).
Observação sobre orientação: a fórmula utiliza orientação positiva (anti-horário). O enunciado diz explicitamente que
é orientada anti-horário, então podemos aplicar a fórmula sem trocar sinais.
Passo 3
Identificar
e
e calcular as derivadas parciais:
Calculemos as derivadas parciais necessárias:
Logo o integrando da integral dupla é
Passo 4
Descrever a região
e montar a integral dupla:
A região é o interior do retângulo com
e
. Usando o Teorema de Green:
A região
Escrevendo como integral iterada (integrando primeiro em
, por exemplo):
Calcule a integral interna:
Agora a integral externa:
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, via cálculo direto nas quatro arestas) — bom para praticar parametrização:
Parametrizamos as arestas no sentido anti-horário e somamos as contribuições.
Parametrizamos as arestas no sentido anti-horário e somamos as contribuições.
- Aresta inferior: de
a . Tomamos . Então .
Contribuição:
- Aresta direita: de
a . Tomamos . Então .
Contribuição:
- Aresta superior: de
a . Tomamos (ou de a ). É prático usar de a , então com limites decrescentes.
Contribuição:
- Aresta esquerda: de
a . Tomamos (ou de a ). Aqui com limites decrescentes.
Contribuição:
Somando as contribuições das quatro arestas:
. Isso confirma o resultado obtido pelo Teorema de Green.