Teorema de Green e Integrais curvilineas:
Calcule usando o Teorema de Green:
\oint C(3 y d x+2 x d y) onde C é o retângulo com vértices (0,0),(3,0),(3,2),(0,2), orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral curvilínea
\oint_C (3y\,dx + 2x\,dy)
onde C é o retângulo com vértices (0,0), (3,0), (3,2), (0,2), orientado no sentido anti-horário.
Informações relevantes dadas:
\text{vértices: }(0,0),\\ (3,0),\\ (3,2),\\ (0,2);é
\text{orientação: anti-horário (positiva)};çãá
a forma do integrando já está escrita no formato P\,dx + Q\,dy, com P e Q dependendo de x,y.

Passo 2

Por que usar o Teorema de Green (explicação e enunciado do teorema)?
O enunciado sugeriu “Teorema de Green” e temos uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples que delimita uma região plana (o retângulo). O Teorema de Green transforma uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região interior, o que normalmente simplifica muito o cálculo quando P e Q são funções simples.
Enunciado do Teorema de Green (forma para circulação): se C é uma curva fechada, simples e positivamente orientada que delimita uma região D no plano e P(x,y),Q(x,y) são funções com derivadas parciais contínuas em um entorno de D, então
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui:
  • P(x,y) é a componente multiplicando dx;
  • Q(x,y) é a componente multiplicando dy;
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x;
  • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y;
  • dA é o elemento de área (podemos usar dA = dx\,dy ou dy\,dx).
Observação sobre orientação: a fórmula utiliza orientação positiva (anti-horário). O enunciado diz explicitamente que C é orientada anti-horário, então podemos aplicar a fórmula sem trocar sinais.

Passo 3

Identificar P e Q e calcular as derivadas parciais:
P(x,y)=3y,\qquad Q(x,y)=2x.
Calculemos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x)=2,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3y)=3.
Logo o integrando da integral dupla é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2-3=-1.

Passo 4

Descrever a região D e montar a integral dupla:
A região D é o interior do retângulo com 0\le x\le 3 e 0\le y\le 2. Usando o Teorema de Green:
\oint_C (3y\,dx + 2x\,dy)=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA =\iint_D (-1)\,dA.
Escrevendo como integral iterada (integrando primeiro em y, por exemplo):
\iint_D (-1)\,dA = \int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{2} (-1)\,dy\,dx.
Calcule a integral interna:
\int_{y=0}^{2} (-1)\,dy = (-1)\cdot(2-0) = -2.
Agora a integral externa:
\int_{x=0}^{3} (-2)\,dx = (-2)\cdot(3-0) = -6.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, via cálculo direto nas quatro arestas) — bom para praticar parametrização:
Parametrizamos as arestas no sentido anti-horário e somamos as contribuições.
  1. Aresta inferior: de (0,0) a (3,0). Tomamos x=t,\\ y=0,\\\ 0\le t\le 3. Então dx=dt,\\ dy=0.
    Contribuição:
\int_{0}^{3} \big(3y\,dx + 2x\,dy\big)=\int_{0}^{3} 3\cdot 0\cdot dt + 2t\cdot 0 = 0.
  1. Aresta direita: de (3,0) a (3,2). Tomamos x=3,\\ y=t,\\\ 0\le t\le 2. Então dx=0,\\ dy=dt.
    Contribuição:
\int_{0}^{2} \big(3y\cdot 0 + 2\cdot 3\cdot dt\big)=\int_{0}^{2} 6\,dt = 6\cdot 2 = 12.
  1. Aresta superior: de (3,2) a (0,2). Tomamos x=t,\\ y=2,\\\ 3\ge t\ge 0 (ou t de 3 a 0). É prático usar t de 3 a 0, então dx=dt com limites decrescentes.
    Contribuição:
\int_{3}^{0} \big(3\cdot 2\,dx + 2x\cdot 0\big)=\int_{3}^{0} 6\,dx = 6(0-3) = -18.
  1. Aresta esquerda: de (0,2) a (0,0). Tomamos x=0,\\ y=t,\\\ 2\ge t\ge 0 (ou t de 2 a 0). Aqui dx=0,\\ dy=dt com limites decrescentes.
    Contribuição:
\int_{2}^{0} \big(3y\cdot 0 + 2\cdot 0\cdot dy\big)=0.
Somando as contribuições das quatro arestas: 0 + 12 + (-18) + 0 = -6. Isso confirma o resultado obtido pelo Teorema de Green.

Resposta

-6

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