Investigue a continuidade das funções abaixo, ou seja, determine os pontos ou intervalos onde elas sejam contínuas ou descontínuas, explicando porque. Depois faça os respectivos gráficos, utilizando o programa winplot.
f(x)=\frac{e^{x}-2}{x-4}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a continuidade da função
f(x)=\frac{e^{x}-2}{x-4},
ou seja, determinar em quais pontos ela é contínua ou descontínua e explicar por quê. Depois pede o gráfico usando o programa winplot.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é dada explicitamente por f(x)=\dfrac{e^{x}-2}{x-4}.
  • Não há outras restrições fornecidas; estamos trabalhando em \mathbb{R}.
  • Deve-se identificar pontos/intervalos de continuidade e classificar eventuais descontinuidades.
Perguntas a responder (claras e separadas):
  • Quais pontos de \mathbb{R} pertencem ao domínio de f?
  • Em quais pontos f é contínua?
  • Há pontos de descontinuidade? Se houver, qual o tipo (removível, salto, infinito)?
  • Quais são os limites laterais relevantes (por exemplo em x\to4^\pm e em x\to\pm\infty)?
  • Fazer o gráfico em winplot (dar instruções para plotar corretamente).

Passo 2

Propriedades de continuidade que vamos usar (explicação didática):
  • A função exponencial x\mapsto e^{x} é contínua em todo \mathbb{R}. Isso significa que para qualquer ponto a temos \lim_{x\to a} e^{x}=e^{a}.
  • Soma e diferença de funções contínuas são contínuas; produto também. Em particular, e^{x}-2 é contínua em todo \mathbb{R} porque é exponencial menos uma constante.
  • Regra do quociente para continuidade: se g e h são contínuas em a e h(a)\neq0, então g/h é contínua em a. A ideia é que \lim_{x\to a} g(x)/h(x) = \big(\lim_{x\to a} g(x)\big)/\big(\lim_{x\to a} h(x)\big) quando o denominador do limite não é zero.
  • Logo, um quociente como f(x)=\dfrac{e^{x}-2}{x-4} será contínuo em qualquer ponto onde o denominador x-4 não se anule.
Vou sempre explicar cada variável: aqui x é a variável independente; o numerador é e^{x}-2 e o denominador é x-4.

Passo 3

Encontrar o domínio e aplicar a regra do quociente:
  • O numerador e^{x}-2 está definido e é contínuo para todo x\in\mathbb{R}.
  • O denominador x-4 é contínuo em todo \mathbb{R} e só é zero quando x=4.
    Pelo raciocínio do passo anterior, f é contínua em todo ponto do domínio onde o denominador não zera. Portanto o domínio de f é
\mathbb{R}\setminus\{4\},
e f é contínua em cada ponto de \mathbb{R}\setminus\{4\}. Ainda não concluímos o que acontece em x=4; isso vem no próximo passo.

Passo 4

Estudo da descontinuidade em x=4: cálculo dos limites laterais
Primeiro avalio o numerador em x=4:
e^{4}-2.
Sabemos que e^{4} é um número positivo e relativamente grande; numericamente e^{4}\approx 54{,}598, então e^{4}-2\approx 52{,}598>0. Logo o numerador tende para uma constante positiva quando x\to4.
Agora analiso o comportamento do denominador quando x se aproxima de 4:
  • Para x\to4^{+} temos x-4>0 e tende a 0^{+} (um número positivo muito pequeno).
  • Para x\to4^{-} temos x-4<0 e tende a 0^{-} (um número negativo muito pequeno).
Como o numerador tende para uma constante positiva não-nula e o denominador tende para zero com sinais opostos nos dois lados, o quociente tende para infinito com sinais opostos nos lados direito e esquerdo. Formalmente:
Para x\to4^{+}:
\lim_{x\to4^{+}} \frac{e^{x}-2}{x-4} = +\infty,
pois numerador \to e^{4}-2>0 e denominador \to 0^{+}.
Para x\to4^{-}:
\lim_{x\to4^{-}} \frac{e^{x}-2}{x-4} = -\infty,
pois numerador \to e^{4}-2>0 e denominador \to 0^{-}.
Portanto a função explode para +\infty ao se aproximar por cima e para -\infty ao se aproximar por baixo.

Passo 5

Classificação da descontinuidade em x=4 (explicação do porquê)
  • Uma descontinuidade é removível se \lim_{x\to a} f(x) existe e é finito, mas f(a) não está definido ou é diferente desse limite. Aqui o limite (ao menos um dos laterais) não é finito, então não é removível.
  • Uma descontinuidade de salto ocorre quando os limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes. Aqui os limites laterais são infinitos (não finitos), então também não é salto.
  • Se uma ou ambas as limites laterais são infinitas (±∞), costuma-se dizer que a descontinuidade é do tipo infinito (ou essencial do tipo vertical asymptote). É exatamente o caso aqui.
    Conclusão: x=4 é uma descontinuidade do tipo infinito; geometricamente é uma assíntota vertical em x=4.

Passo 6

Comportamento para x\to\pm\infty (assíntotas horizontais e crescimento)
  • Para x\to+\infty: e^{x} cresce muito mais rápido que x, logo
\lim_{x\to+\infty} \frac{e^{x}-2}{x-4}=+\infty.
Uma maneira de ver isso é dividir numerador e denominador por x (ou comparar ordens de crescimento): \dfrac{e^{x}}{x}\to+\infty.
  • Para x\to-\infty: e^{x}\to0^{+}, então o numerador e^{x}-2\to -2 (uma constante negativa), enquanto o denominador x-4\to -\infty. Assim
\lim_{x\to-\infty} \frac{e^{x}-2}{x-4} = \frac{-2}{-\infty}=0^{+}.
Portanto há uma assíntota horizontal quando x\to-\infty: y=0 (a função se aproxima de 0 por valores positivos). Para x\to+\infty não há assíntota horizontal — a função diverge para +\infty.

Passo 7

Pontos notáveis: zeros e sinais da função
  • Zeros de f ocorrem quando o numerador zera, isto é e^{x}-2=0. Resolve-se:
e^{x}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\ln 2.
Assim f(\ln 2)=0 e \ln 2 pertence ao domínio (pois \ln 2\approx0{,}693<4). Esse é um ponto contínuo onde a função corta o eixo x.
  • Análise de sinal rápida (útil para esboçar):
    • Para x>4: denom >0; numerador e^{x}-2>0 (pois x>4>\ln 2), então f(x)>0.
    • Para \ln 2<x<4: numerador >0 e denom <0, então f(x)<0.
    • Para x<\ln 2: numerador <0; se x<4 então denom <0, logo f(x)>0.
      Isto ajuda a saber onde o gráfico está acima/abaixo do eixo x.

Passo 8

Instruções práticas para fazer o gráfico no winplot (passo a passo, dicas)
Quero que o gráfico mostre corretamente a descontinuidade em x=4 (assíntota vertical) sem ligar os ramos atravessando o ponto x=4. Sugestões:
  1. Abra o winplot e escolha a opção para criar uma curva explícita y=f(x).
  2. Para evitar que o traçador una os ramos através de x=4, plote duas funções separadas com domínios restritos:
    • Defina f_1(x)=\dfrac{e^{x}-2}{x-4} com domínio (-\infty,4).
    • Defina f_2(x)=\dfrac{e^{x}-2}{x-4} com domínio (4,+\infty).
      No winplot geralmente há uma caixa para limitar o intervalo de x de cada função; use por exemplo (-10,4) para f_1 e (4,10) para f_2.
  3. Adicione a reta vertical x=4 (opção “line” ou “implicit curve”) e pinte-a de tracejado para indicar assíntota vertical.
  4. Marque o ponto zero x=\ln 2 com uma pequena bolinha: calcule \ln 2\approx0{,}693147 e plote o ponto (\ln 2,0).
  5. Escolha uma janela de visualização que mostre bem o comportamento perto de x=4. Exemplos:
    • Janela ampla: x\in[-10,10], y\in[-50,50] (mostra explosão perto de 4).
    • Janela focada à esquerda: x\in[-2,2], y\in[-4,4] para ver o corte em \ln 2.
  6. Se o winplot permitir, aumente a densidade de pontos perto de x=4 para capturar melhor a curva ao se aproximar da assíntota; caso contrário, plotando em dois intervalos separados já evita artefatos.
  7. Legendas opcionais: escreva y=\dfrac{e^{x}-2}{x-4}, indique a assíntota x=4 e o zero x=\ln 2.
    Essas instruções permitem obter um gráfico correto e visualmente claro.

Passo 9

Resumo e intuição final (para você levar para a prova)
  • A função é um quociente de uma função contínua por outra contínua; o único problema é onde o denominador zera.
  • Em x=4 há descontinuidade porque o denominador é zero e o numerador não é zero nesse ponto; isso dá uma assíntota vertical com limites laterais infinitos de sinais opostos.
  • Em -\infty a função tende a 0; em +\infty diverge para +\infty.
  • Pontos simples a anotar no rascunho: domínio \mathbb{R}\setminus\{4\}, zero em x=\ln 2, assíntota vertical x=4, assíntota horizontal em y=0 só para x\to-\infty.

Resposta

f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{4\}.\n
Em x=4 há uma descontinuidade do tipo infinito (assíntota vertical): \displaystyle\lim_{x\to4^{-}} f(x)=-\infty e \displaystyle\lim_{x\to4^{+}} f(x)=+\infty.\n
\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=0^{+} (assíntota horizontal y=0 quando x\to-\infty) e \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty.\n
Zero da função: x=\ln 2 (ou seja, f(\ln 2)=0).

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