Investigue a continuidade das funções abaixo, ou seja, determine os pontos ou intervalos onde elas sejam contínuas ou descontínuas, explicando porque. Depois faça os respectivos gráficos, utilizando o programa winplot.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a continuidade da função
ou seja, determinar em quais pontos ela é contínua ou descontínua e explicar por quê. Depois pede o gráfico usando o programa winplot.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é dada explicitamente por
. - Não há outras restrições fornecidas; estamos trabalhando em
. - Deve-se identificar pontos/intervalos de continuidade e classificar eventuais descontinuidades.
Perguntas a responder (claras e separadas):
- Quais pontos de
pertencem ao domínio de ? - Em quais pontos
é contínua? - Há pontos de descontinuidade? Se houver, qual o tipo (removível, salto, infinito)?
- Quais são os limites laterais relevantes (por exemplo em
e em )? - Fazer o gráfico em winplot (dar instruções para plotar corretamente).
Passo 2
Propriedades de continuidade que vamos usar (explicação didática):
- A função exponencial
é contínua em todo . Isso significa que para qualquer ponto temos . - Soma e diferença de funções contínuas são contínuas; produto também. Em particular,
é contínua em todo porque é exponencial menos uma constante. - Regra do quociente para continuidade: se
e são contínuas em e , então é contínua em . A ideia é que quando o denominador do limite não é zero. - Logo, um quociente como
será contínuo em qualquer ponto onde o denominador não se anule.
Vou sempre explicar cada variável: aqui
é a variável independente; o numerador é
e o denominador é
.
Passo 3
Encontrar o domínio e aplicar a regra do quociente:
- O numerador
está definido e é contínuo para todo . - O denominador
é contínuo em todo e só é zero quando .
Pelo raciocínio do passo anterior,é contínua em todo ponto do domínio onde o denominador não zera. Portanto o domínio de é
e
é contínua em cada ponto de
. Ainda não concluímos o que acontece em
; isso vem no próximo passo.
Passo 4
Estudo da descontinuidade em
: cálculo dos limites laterais
Primeiro avalio o numerador em :
Primeiro avalio o numerador em
Sabemos que
é um número positivo e relativamente grande; numericamente
, então
. Logo o numerador tende para uma constante positiva quando
.
Agora analiso o comportamento do denominador quando
se aproxima de
:
- Para
temos e tende a (um número positivo muito pequeno). - Para
temos e tende a (um número negativo muito pequeno).
Como o numerador tende para uma constante positiva não-nula e o denominador tende para zero com sinais opostos nos dois lados, o quociente tende para infinito com sinais opostos nos lados direito e esquerdo. Formalmente:
Para
:
pois numerador
e denominador
.
Para
:
pois numerador
e denominador
.
Portanto a função explode para
ao se aproximar por cima e para
ao se aproximar por baixo.
Passo 5
Classificação da descontinuidade em
(explicação do porquê)
- Uma descontinuidade é removível se
existe e é finito, mas não está definido ou é diferente desse limite. Aqui o limite (ao menos um dos laterais) não é finito, então não é removível. - Uma descontinuidade de salto ocorre quando os limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes. Aqui os limites laterais são infinitos (não finitos), então também não é salto.
- Se uma ou ambas as limites laterais são infinitas (±∞), costuma-se dizer que a descontinuidade é do tipo infinito (ou essencial do tipo vertical asymptote). É exatamente o caso aqui.
Conclusão:é uma descontinuidade do tipo infinito; geometricamente é uma assíntota vertical em .
Passo 6
Comportamento para
(assíntotas horizontais e crescimento)
- Para
: cresce muito mais rápido que , logo
Uma maneira de ver isso é dividir numerador e denominador por
(ou comparar ordens de crescimento):
.
- Para
: , então o numerador (uma constante negativa), enquanto o denominador . Assim
Portanto há uma assíntota horizontal quando
:
(a função se aproxima de
por valores positivos). Para
não há assíntota horizontal — a função diverge para
.
Passo 7
Pontos notáveis: zeros e sinais da função
- Zeros de
ocorrem quando o numerador zera, isto é . Resolve-se:
Assim
e
pertence ao domínio (pois
). Esse é um ponto contínuo onde a função corta o eixo
.
- Análise de sinal rápida (útil para esboçar):
- Para
: denom >0; numerador (pois ), então . - Para
: numerador >0 e denom <0, então . - Para
: numerador <0; se então denom <0, logo .
Isto ajuda a saber onde o gráfico está acima/abaixo do eixo.
- Para
Passo 8
Instruções práticas para fazer o gráfico no winplot (passo a passo, dicas)
Quero que o gráfico mostre corretamente a descontinuidade em (assíntota vertical) sem ligar os ramos atravessando o ponto
. Sugestões:
Quero que o gráfico mostre corretamente a descontinuidade em
- Abra o winplot e escolha a opção para criar uma curva explícita
. - Para evitar que o traçador una os ramos através de
, plote duas funções separadas com domínios restritos: - Defina
com domínio . - Defina
com domínio .
No winplot geralmente há uma caixa para limitar o intervalo dede cada função; use por exemplo para e para .
- Defina
- Adicione a reta vertical
(opção “line” ou “implicit curve”) e pinte-a de tracejado para indicar assíntota vertical. - Marque o ponto zero
com uma pequena bolinha: calcule e plote o ponto . - Escolha uma janela de visualização que mostre bem o comportamento perto de
. Exemplos: - Janela ampla:
, (mostra explosão perto de ). - Janela focada à esquerda:
, para ver o corte em .
- Janela ampla:
- Se o winplot permitir, aumente a densidade de pontos perto de
para capturar melhor a curva ao se aproximar da assíntota; caso contrário, plotando em dois intervalos separados já evita artefatos. - Legendas opcionais: escreva
, indique a assíntota e o zero .
Essas instruções permitem obter um gráfico correto e visualmente claro.
Passo 9
Resumo e intuição final (para você levar para a prova)
- A função é um quociente de uma função contínua por outra contínua; o único problema é onde o denominador zera.
- Em
há descontinuidade porque o denominador é zero e o numerador não é zero nesse ponto; isso dá uma assíntota vertical com limites laterais infinitos de sinais opostos. - Em
a função tende a ; em diverge para . - Pontos simples a anotar no rascunho: domínio
, zero em , assíntota vertical , assíntota horizontal em só para .
Resposta
Em
Zero da função: