Investigue a convergência ou não das integrais impróprias.
, onde
e
Passo 1
O enunciado fornece a integral dupla imprópria
onde a região
é dada por
As perguntas implícitas são:
- A integral dupla é convergente ou divergente?
- Se for convergente, qual é o seu valor?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é
. - A região toca a linha
, onde a expressão é problemática; por isso a integral é imprópria pela presença de na fronteira. - Para cada
fixo, varia de a .
Passo 2
Formalizar a integral imprópria como integral iterada. Como a região é do tipo "para cada
fixo,
vai de
a
", podemos escrever (tomando a ordem
):
mas esse escrito só faz sentido para
. Para tratar a impropriedade em
, define-se o integral como limite:
Nossa tarefa é mostrar que esse limite existe (finito) e, se sim, calcular o valor.
Passo 3
Calcular a integral interna
para
.
- Aqui
é parâmetro constante na integração em . - Uma primitiva de
é fácil de ver por substituição simples: se então
Logo uma primitiva é
. Portanto, para
,
Passo 4
Substituir a integral interna na integral externa e tratar o limite
.
Com o resultado do passo anterior,
Com o resultado do passo anterior,
Agora analisamos o comportamento quando
. A função
é contínua em
se a estendermos por
, porque
(p.ex., usando a expansão
, dá
). Assim
ou seja, a integral imprópria reduz-se a uma integral própria sobre
. Isso mostra que a integral dupla é convergente se a integral unidimensional
for finita (o que vamos calcular).
Passo 5
Calcular
passo a passo.
Separe em duas integrais:
Separe em duas integrais:
Calcular
é direto:
Agora
. Use integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Logo
Avalie de
a
:
Portanto
Passo 6
Conclusão: a integral imprópria converge e seu valor é
. Fizemos a integração interna explicitamente para
, reduzimos o problema a uma integral própria em
e avaliamos essa integral. Observação intuitiva útil para a prova: apesar de
parecer singular quando
, na região
temos
, então
, o que controla o exponencial e impede divergência.
Resposta
A integral converge e seu valor é
.