Investigue a convergência ou não das integrais impróprias.
\iint_{D} e^{\frac{x}{y}} d x d y, onde D: 0 \leq x \leq y^{2} e 0 \leq y \leq 1

Passo 1

O enunciado fornece a integral dupla imprópria
\iint_{D} e^{\frac{x}{y}}\,dx\,dy,
onde a região D é dada por
0 \le x \le y^{2},\qquad 0 \le y \le 1.
As perguntas implícitas são:
  • A integral dupla é convergente ou divergente?
  • Se for convergente, qual é o seu valor?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é e^{\frac{x}{y}}.
  • A região toca a linha y=0, onde a expressão \frac{x}{y} é problemática; por isso a integral é imprópria pela presença de y=0 na fronteira.
  • Para cada y>0 fixo, x varia de 0 a y^{2}.

Passo 2

Formalizar a integral imprópria como integral iterada. Como a região é do tipo "para cada y fixo, x vai de 0 a y^2", podemos escrever (tomando a ordem dx\,dy):
\iint_{D} e^{\frac{x}{y}}\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{y^{2}} e^{\frac{x}{y}}\,dx\right)dy,
mas esse escrito só faz sentido para y>0. Para tratar a impropriedade em y=0, define-se o integral como limite:
\iint_{D} e^{\frac{x}{y}}\,dx\,dy = \lim_{\varepsilon\to0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1}\left(\int_{0}^{y^{2}} e^{\frac{x}{y}}\,dx\right)dy.
Nossa tarefa é mostrar que esse limite existe (finito) e, se sim, calcular o valor.

Passo 3

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{0}^{y^{2}} e^{\frac{x}{y}}\,dx para y>0.
  • Aqui y é parâmetro constante na integração em x.
  • Uma primitiva de x\mapsto e^{\frac{x}{y}} é fácil de ver por substituição simples: se F(x)=y\,e^{\frac{x}{y}} então
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{\frac{x}{y}}\bigr) = y\cdot\frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}} = e^{\frac{x}{y}}.
Logo uma primitiva é y\,e^{\frac{x}{y}}. Portanto, para y>0,
\int_{0}^{y^{2}} e^{\frac{x}{y}}\,dx = \Bigl[y\,e^{\frac{x}{y}}\Bigr]_{x=0}^{x=y^{2}} = y\bigl(e^{\frac{y^{2}}{y}} - e^{0}\bigr) = y\bigl(e^{y}-1\bigr).

Passo 4

Substituir a integral interna na integral externa e tratar o limite \varepsilon\to0^{+}.
Com o resultado do passo anterior,
\int_{\varepsilon}^{1}\left(\int_{0}^{y^{2}} e^{\frac{x}{y}}\,dx\right)dy = \int_{\varepsilon}^{1} y\bigl(e^{y}-1\bigr)\,dy.
Agora analisamos o comportamento quando \varepsilon\to0^{+}. A função g(y)=y(e^{y}-1) é contínua em [0,1] se a estendermos por g(0)=0, porque \lim_{y\to0}y(e^{y}-1)=0 (p.ex., usando a expansão e^{y}-1=y+o(y), dá y(e^{y}-1)\sim y^{2}\to0). Assim
\lim_{\varepsilon\to0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} y\bigl(e^{y}-1\bigr)\,dy = \int_{0}^{1} y\bigl(e^{y}-1\bigr)\,dy,
ou seja, a integral imprópria reduz-se a uma integral própria sobre [0,1]. Isso mostra que a integral dupla é convergente se a integral unidimensional \int_{0}^{1} y(e^{y}-1)\,dy for finita (o que vamos calcular).

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} y\bigl(e^{y}-1\bigr)\,dy passo a passo.
Separe em duas integrais:
\int_{0}^{1} y\bigl(e^{y}-1\bigr)\,dy = \int_{0}^{1} y e^{y}\,dy \;-\; \int_{0}^{1} y\,dy.
Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} y\,dy é direto:
\int_{0}^{1} y\,dy = \Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}.
Agora \displaystyle \int_{0}^{1} y e^{y}\,dy. Use integração por partes: escolha u=y e dv=e^{y}dy. Então du=dy e v=e^{y}. Logo
\int y e^{y}\,dy = y e^{y} - \int e^{y}\,dy = y e^{y} - e^{y} + C = e^{y}(y-1)+C.
Avalie de 0 a 1:
\int_{0}^{1} y e^{y}\,dy = \bigl[e^{y}(y-1)\bigr]_{0}^{1} = \bigl(e^{1}(1-1)\bigr) - \bigl(e^{0}(0-1)\bigr) = 0 - (-1) = 1.
Portanto
\int_{0}^{1} y\bigl(e^{y}-1\bigr)\,dy = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Conclusão: a integral imprópria converge e seu valor é \tfrac{1}{2}. Fizemos a integração interna explicitamente para y>0, reduzimos o problema a uma integral própria em y e avaliamos essa integral. Observação intuitiva útil para a prova: apesar de \frac{x}{y} parecer singular quando y\to0, na região D temos x\le y^{2}, então \frac{x}{y}\le y\to0, o que controla o exponencial e impede divergência.

Resposta

A integral converge e seu valor é \tfrac{1}{2}.

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