Questão 11. Calcule \iint_{D} e^{-x^{2}} d A onde D é a região limitada pelas retas x=0, y=4 e y=4 x.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral dupla
\iint_{D} e^{-x^{2}}\,dA,
onde D é a região limitada pelas retas x=0, y=4 e y=4x.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • As três curvas descritas são retas: x=0 (eixo vertical), y=4 (reta horizontal) e y=4x (reta passando pela origem com inclinação 4).
  • A região D é o triângulo formado pela interseção dessas três retas. Não sei nada além disso do enunciado, então vou usar apenas essas equações para descrever D.
  • Pergunta final: encontrar o valor numérico (ou expressão fechada) de \iint_{D} e^{-x^{2}}\,dA.

Passo 2

Descrever geometricamente a região D e achar os limites de integração.
Primeiro encontro a interseção entre y=4 e y=4x. Igualando:
4 = 4x \quad\Rightarrow\quad x=1.
Assim, os vértices relevantes do triângulo são (0,0) (onde x=0 e y=4x se encontram), (0,4) (onde x=0 e y=4 se encontram) e (1,4) (interseção entre y=4 e y=4x).
Para descrever D de forma conveniente, escolho integrar primeiro em y e depois em x (ordem dy\,dx). Observando a região:
  • x varia de 0 até 1, isto é 0\le x\le1.
  • Para cada x fixo nessa faixa, y varia da reta inferior y=4x até a reta superior y=4, isto é 4x\le y\le4.

Passo 3

Montar a integral dupla com os limites encontrados.
Como integrando em y primeiro,
\iint_{D} e^{-x^{2}}\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=4x}^{4} e^{-x^{2}}\,dy\right)\,dx.
Explicação didática: aqui estou usando a ideia básica de integrais duplas em coordenadas retangulares. Para cada x fixo, faço a integral em y sobre o segmento vertical que pertence à região; depois somo (integro) esses resultados sobre todos os x entre 0 e 1.

Passo 4

Calcular a integral interna em y. Observação importante: o integrando e^{-x^{2}} não depende de y, é função só de x. Isso simplifica muito a integral interna.
Portanto,
\int_{y=4x}^{4} e^{-x^{2}}\,dy = e^{-x^{2}}\cdot\bigl(4-4x\bigr) = 4(1-x)e^{-x^{2}}.
Explicação didática: integrar em y uma função que é constante em relação a y dá a constante multiplicada pelo comprimento do intervalo de y, que aqui é 4-4x.

Passo 5

Reduzir a integral dupla a uma integral simples em x.
Substituindo o resultado do passo anterior,
\iint_{D} e^{-x^{2}}\,dA = \int_{0}^{1} 4(1-x)e^{-x^{2}}\,dx.
Para facilitar, separo em duas integrais:
\int_{0}^{1} 4(1-x)e^{-x^{2}}\,dx = 4\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx \;-\; 4\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,dx por substituição.
Seja \,u=x^{2}. Então du=2x\,dx, ou x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du.
Quando x=0 temos u=0. Quando x=1 temos u=1.
Logo,
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{1} e^{-u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du.
Calculo da integral exponencial:
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(-e^{-1} + e^{0}\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-1}\bigr).
Portanto
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-1}\bigr).

Passo 7

Tratar a integral \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx. Aqui entra uma ideia importante: a primitiva de e^{-x^{2}} não pode ser expressa por funções elementares (polinômios, exponenciais, senos, logs, etc.). Em vez disso usa-se a função erro (error function), definida por
\operatorname{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t} e^{-s^{2}}\,ds.
Dessa definição segue imediatamente que
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(1).
Explicação didática curta: a função \operatorname{erf} é a forma padrão de representar integrais da forma \int e^{-x^{2}}dx; ela aparece sempre que encontramos essa função gaussiana integrada.

Passo 8

Juntar tudo e simplificar a expressão final.
Recordando a decomposição do passo 5:
\iint_{D} e^{-x^{2}}\,dA = 4\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx \;-\; 4\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,dx.
Substituindo os resultados dos passos 6 e 7:
\iint_{D} e^{-x^{2}}\,dA = 4\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1) \;-\; 4\cdot\frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-1}\bigr).
Simplificando coeficientes:
\iint_{D} e^{-x^{2}}\,dA = 2\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(1) \;-\; 2\bigl(1 - e^{-1}\bigr).
Outra forma equivalente, fatorando 2:
\iint_{D} e^{-x^{2}}\,dA = 2\Bigl(\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(1) - 1 + e^{-1}\Bigr).
Cálculo numérico aproximado (checagem): sabendo que \operatorname{erf}(1)\approx 0{,}842700793, \sqrt{\pi}\approx1{,}77245385 e e^{-1}\approx0{,}367879441, obtém-se aproximadamente
\iint_{D} e^{-x^{2}}\,dA \approx 1{,}723055\ldots

Resposta

2\sqrt{\pi}\,\operatorname{erf}(1)-2+2e^{-1}

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