Questão 11. Calcule
onde
é a região limitada pelas retas
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
,
e
.
Informações fornecidas e observações imediatas:
- As três curvas descritas são retas:
(eixo vertical), (reta horizontal) e (reta passando pela origem com inclinação ). - A região
é o triângulo formado pela interseção dessas três retas. Não sei nada além disso do enunciado, então vou usar apenas essas equações para descrever . - Pergunta final: encontrar o valor numérico (ou expressão fechada) de
.
Passo 2
Descrever geometricamente a região
e achar os limites de integração.
Primeiro encontro a interseção entre
e
. Igualando:
Assim, os vértices relevantes do triângulo são
(onde
e
se encontram),
(onde
e
se encontram) e
(interseção entre
e
).
Para descrever
de forma conveniente, escolho integrar primeiro em
e depois em
(ordem
). Observando a região:
-
varia de até , isto é . - Para cada
fixo nessa faixa, varia da reta inferior até a reta superior , isto é .
Passo 3
Montar a integral dupla com os limites encontrados.
Como integrando em
primeiro,
Explicação didática: aqui estou usando a ideia básica de integrais duplas em coordenadas retangulares. Para cada
fixo, faço a integral em
sobre o segmento vertical que pertence à região; depois somo (integro) esses resultados sobre todos os
entre
e
.
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Observação importante: o integrando
não depende de
, é função só de
. Isso simplifica muito a integral interna.
Portanto,
Explicação didática: integrar em
uma função que é constante em relação a
dá a constante multiplicada pelo comprimento do intervalo de
, que aqui é
.
Passo 5
Reduzir a integral dupla a uma integral simples em
.
Substituindo o resultado do passo anterior,
Para facilitar, separo em duas integrais:
Passo 6
Calcular a integral
por substituição.
Seja
. Então
, ou
.
Quando temos
. Quando
temos
.
Quando
Logo,
Calculo da integral exponencial:
Portanto
Passo 7
Tratar a integral
. Aqui entra uma ideia importante: a primitiva de
não pode ser expressa por funções elementares (polinômios, exponenciais, senos, logs, etc.). Em vez disso usa-se a função erro (error function), definida por
Dessa definição segue imediatamente que
Explicação didática curta: a função
é a forma padrão de representar integrais da forma
; ela aparece sempre que encontramos essa função gaussiana integrada.
Passo 8
Juntar tudo e simplificar a expressão final.
Recordando a decomposição do passo 5:
Substituindo os resultados dos passos 6 e 7:
Simplificando coeficientes:
Outra forma equivalente, fatorando
:
Cálculo numérico aproximado (checagem): sabendo que
,
e
, obtém-se aproximadamente