Questão 15. Com a mudança de variável
e
, calcule
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
, usando a mudança de variáveis
e
.
Informações dadas e o que é pedido:
- Região
é o losango (diamante) centrado na origem definido por . - A mudança de variáveis é
e . - Precisa-se calcular a integral transformando para as variáveis
, incluindo o jacobiano e a nova região correspondente.
Passo 2
Primeiro, expressar
Somando as duas equações obtém-se
, logo
Essas expressões permitem reescrever tanto a função integranda quanto a condição da região em termos de
e
.]
Passo 3
Reescrevendo a integranda em
:
-
, porque . -
, porque .
Como, a integranda fica
Passo 4
Calcular o jacobiano da transformação
. Usando
e
,
O valor absoluto do jacobiano é
. Assim
.]
Passo 5
Transformar a região
. Partimos de
. Substituindo
e
obtém-se
Usa-se a identidade (que pode ser vista por estudo de casos):
Explicando rapidinho: se
então
domina e as duas somas absolutas somam
; se
então somam
. Assim a condição torna-se
ou seja
Portanto, na nova coordenada, a região é o quadrado
.
Passo 6
Escrever a integral na nova variável. Juntando integranda, jacobiano e região:
Como a função é produto de termo que depende só de
por um lado e só de
por outro, a integral separa:
Passo 7
Calcular a integral em
:
Passo 8
Calcular a integral em
. Uma forma padrão é usar a identidade
. Assim
Agora
e
(coseno é função par com integral de um período completo zero), logo
Passo 9
Combinar os resultados: