Questão 15. Com a mudança de variável u=y-x e v=y+x, calcule
\iint_{D}(x+y)^{2} \sin ^{2}(x-y) d A
onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:|x|+|y| \leq \pi\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(x+y)^{2}\sin^{2}(x-y)\,dA
onde D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\;|x|+|y|\leq\pi\}, usando a mudança de variáveis u=y-x e v=y+x.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Região D é o losango (diamante) centrado na origem definido por |x|+|y|\leq\pi.
  • A mudança de variáveis é \;u=y-x\; e \;v=y+x\;.
  • Precisa-se calcular a integral transformando para as variáveis (u,v), incluindo o jacobiano e a nova região correspondente.

Passo 2

Primeiro, expressar x\) e \(y\) em função de \(u\) e \(v\). Temos o sistema \[\begin{cases} u = y - x,\\[4pt] v = y + x. \end{cases}
Somando as duas equações obtém-se u+v = 2y\], logo \[y=\frac{u+v}{2}.\] Subtraindo a primeira da segunda obtém-se \(v-u = 2x, logo
x=\frac{v-u}{2}.
Essas expressões permitem reescrever tanto a função integranda quanto a condição da região em termos de u e v.]

Passo 3

Reescrevendo a integranda em (u,v):
  • (x+y)=v, porque v=y+x.
  • (x-y) = -u, porque x-y = - (y-x) = -u.
    Como \sin^{2}(-u)=\sin^{2}(u), a integranda fica
(x+y)^{2}\sin^{2}(x-y) = v^{2}\sin^{2}(u).

Passo 4

Calcular o jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y). Usando x=\dfrac{v-u}{2} e y=\dfrac{v+u}{2},
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1/2 & 1/2\\[4pt] 1/2 & 1/2 \end{vmatrix} = \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) =-\frac{1}{2}.
O valor absoluto do jacobiano é \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\dfrac{1}{2}. Assim dA = \dfrac{1}{2}\,du\,dv.]

Passo 5

Transformar a região D. Partimos de |x|+|y|\leq\pi. Substituindo x=\dfrac{v-u}{2} e y=\dfrac{v+u}{2} obtém-se
|x|+|y| = \frac{|v-u|+|v+u|}{2}\leq\pi \quad\Longleftrightarrow\quad |v-u|+|v+u|\leq 2\pi.
Usa-se a identidade (que pode ser vista por estudo de casos):
|v-u|+|v+u| = 2\max(|v|,|u|).
Explicando rapidinho: se |v|\ge|u| então v domina e as duas somas absolutas somam 2|v|; se |u|\ge|v| então somam 2|u|. Assim a condição torna-se
2\max(|v|,|u|)\le 2\pi \quad\Longleftrightarrow\quad \max(|u|,|v|)\le\pi,
ou seja
|u|\le\pi\qquad\text{e}\qquad |v|\le\pi.
Portanto, na nova coordenada, a região é o quadrado \{(u,v):-\pi\le u\le\pi,\;-\pi\le v\le\pi\}.

Passo 6

Escrever a integral na nova variável. Juntando integranda, jacobiano e região:
\iint_{D}(x+y)^{2}\sin^{2}(x-y)\,dA = \iint_{[-\pi,\pi]\times[-\pi,\pi]} v^{2}\sin^{2}(u)\cdot\frac{1}{2}\,du\,dv.
Como a função é produto de termo que depende só de u por um lado e só de v por outro, a integral separa:
\frac{1}{2}\left(\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}(u)\,du\right)\left(\int_{-\pi}^{\pi}v^{2}\,dv\right).

Passo 7

Calcular a integral em v:
\int_{-\pi}^{\pi}v^{2}\,dv = 2\int_{0}^{\pi}v^{2}\,dv =2\left[\frac{v^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi} =2\cdot\frac{\pi^{3}}{3} =\frac{2\pi^{3}}{3}.

Passo 8

Calcular a integral em u. Uma forma padrão é usar a identidade \sin^{2}(u)=\dfrac{1-\cos(2u)}{2}. Assim
\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}(u)\,du =\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\cos(2u)}{2}\,du =\frac{1}{2}\left[\int_{-\pi}^{\pi}1\,du - \int_{-\pi}^{\pi}\cos(2u)\,du\right].
Agora \int_{-\pi}^{\pi}1\,du = 2\pi e \int_{-\pi}^{\pi}\cos(2u)\,du = 0 (coseno é função par com integral de um período completo zero), logo
\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}(u)\,du = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.

Passo 9

Combinar os resultados:
\text{Integral} = \frac{1}{2}\cdot\left(\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}(u)\,du\right)\cdot\left(\int_{-\pi}^{\pi}v^{2}\,dv\right) = \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \frac{2\pi^{3}}{3} = \frac{\pi^{4}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{4}}{3}

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