Um investimento proporciona ao seu detentor rendimentos de \ 2.500 ; $3.500 ; $ 5.000 ;$3.000 e$ 7.500$ nos períodos 1; 2; 3; 4 e 5. Transforme tais rendimentos em uma série uniforme equivalente, considerando uma TMA de 10,25% a.a.

Passo 1

O enunciado dá os rendimentos em cada período e pede que os transformemos em uma série uniforme equivalente, usando uma TMA de 10{,}25\% a.a. Dados fornecidos (peguei os valores diretamente do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Período }1:\\ \$2.500\\\ &\text{Período }2:\\ \$3.500\\\ &\text{Período }3:\\ \$5.000\\\ &\text{Período }4:\\ \$3.000\\\ &\text{Período }5:\\ \$7.500\\\ &\text{TMA (taxa de juros)}:\\ i=10{,}25\% = 0{,}1025\\ \text{a.a.}
O que o problema quer: encontrar um valor uniforme anual A (mesmo valor em cada um dos 5 períodos) que seja equivalente, à mesma TMA, à série de rendimentos acima. Vou considerar que os rendimentos e a série uniforme ocorrem ao final de cada período (fluxo ao final do ano), que é o caso usual salvo indicação contrária.

Passo 2

Conceito e método (aulas rápidas, passo a passo, sem pular etapas).
  • Dois fluxos são equivalentes a uma taxa i se tiverem o mesmo valor presente em um mesmo momento de referência (aqui tomo o instante inicial, tempo 0).
  • Primeiro calculamos o valor presente P da série dada (somando cada rendimento trazido a t=0 descontando pela taxa).
  • Depois calculamos o valor uniforme A que tem o mesmo valor presente P em n=5 períodos. A relação entre P e A é a fórmula do valor presente de uma anuidade (série uniforme):
P = A \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • Isolando A obtemos a fórmula usada na prova:
A = P\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Aqui:
  • P = valor presente (em t=0) da série original (somatório dos valores descontados),
  • i = taxa por período ( 0{,}1025),
  • n = número de períodos ( 5),
  • A = valor uniforme anual equivalente (mesmo valor nos períodos 1 a 5).

Passo 3

Cálculo dos fatores de desconto. Primeiro calculemos (1+i)^k para k=1,\dots,5, onde i=0{,}1025.
\begin{aligned} &(1+i)=1{,}1025,\\\ &(1+i)^2=1{,}2155125625,\\\ &(1+i)^3=1{,}34010260015625,\\\ &(1+i)^4=1{,}4774631166722656,\\\ &(1+i)^5=1{,}6289030861311728. \end{aligned}
Os fatores de desconto (recíprocos) são (1+i)^{-k}=\dfrac{1}{(1+i)^k}. Vou calcular esses recíprocos porque precisamos trazer cada rendimento a t=0. Usei a relação (1+i)^{-k}=(1/(1+i))^k para computar com mais facilidade.

Passo 4

Cálculo do recíproco \dfrac{1}{1+i} e suas potências (essa é a mesma ideia de fator de desconto por período):
\frac{1}{1+i} \approx 0{,}907028376305.
Então
\begin{aligned} (1+i)^{-1} &\approx 0{,}907028376305,\\\ (1+i)^{-2} &\approx 0{,}822707915000\quad(\text{ou }0{,}822707915),\\\ (1+i)^{-3} &\approx 0{,}746222293500\quad(\text{ou }0{,}7462222935),\\\ (1+i)^{-4} &\approx 0{,}676842072150\quad(\text{ou }0{,}67684207215),\\\ (1+i)^{-5} &\approx 0{,}613911887935\quad(\text{ou }0{,}613911887935). \end{aligned}
(Expliquei como obter: primeiro o recíproco simples e depois multiplico sucessivamente para as potências seguintes. Esses valores são os fatores que multiplicam cada rendimento para trazê-lo a t=0.)

Passo 5

Trazer cada rendimento a t=0 (valor presente parcial de cada fluxo) e somar para obter P. Para cada rendimento R_t no período t aplicamos PV_t = R_t\cdot(1+i)^{-t}.
\begin{aligned} PV_1 &= 2.500\cdot(1+i)^{-1} \approx 2.500\cdot0{,}907028376305 = 2.267{,}5709407625,\\[4pt] PV_2 &= 3.500\cdot(1+i)^{-2} \approx 3.500\cdot0{,}822707915000 = 2.879{,}4777025,\\[4pt] PV_3 &= 5.000\cdot(1+i)^{-3} \approx 5.000\cdot0{,}746222293500 = 3.731{,}1114675,\\[4pt] PV_4 &= 3.000\cdot(1+i)^{-4} \approx 3.000\cdot0{,}676842072150 = 2.030{,}52621645,\\[4pt] PV_5 &= 7.500\cdot(1+i)^{-5} \approx 7.500\cdot0{,}613911887935 = 4.604{,}3391595125. \end{aligned}
Agora somamos todos os PV_t para obter o valor presente P:
\begin{aligned} P &= PV_1+PV_2+PV_3+PV_4+PV_5\\\ &\approx 2.267{,}5709407625 + 2.879{,}4777025 + 3.731{,}1114675 + 2.030{,}52621645 + 4.604{,}3391595125\\\ &\approx 15.513{,}025486725. \end{aligned}
Arredondando sensato para centavos: P \approx \$15.513,03.]

Passo 6

Calcular a anuidade A equivalente usando a fórmula que relaciona P e A:
A = P\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Substituindo P\approx 15.513{,}025486725, i=0{,}1025 e n=5 (onde já calculamos (1+i)^{-5}\approx 0{,}613911887935):
\begin{aligned} \text{denominador} &= 1-(1+i)^{-5} \approx 1-0{,}613911887935 = 0{,}386088112065,\\[4pt] \text{numerador} &= P\cdot i \approx 15.513{,}025486725\cdot0{,}1025 = 1.590{,}0851123893125,\\[4pt] A &\approx \frac{1.590{,}0851123893125}{0{,}386088112065} \approx 4.118{,}4516\\ (\text{em unidades monetárias}). \end{aligned}á
Arredondando para centavos (modo usual em finanças): A \approx \$4.118,45 por ano, durante 5 anos.]

Resposta

\$4.118,45

Exercícios relacionados