Um investimento proporciona ao seu detentor rendimentos de
2.500 ; $3.500 ; $ 5.000
$3.000
$ 7.500$ nos períodos 1; 2; 3; 4 e 5. Transforme tais rendimentos em uma série uniforme equivalente, considerando uma TMA de 10,25% a.a.
Passo 1
O enunciado dá os rendimentos em cada período e pede que os transformemos em uma série uniforme equivalente, usando uma TMA de
a.a. Dados fornecidos (peguei os valores diretamente do enunciado):
O que o problema quer: encontrar um valor uniforme anual
(mesmo valor em cada um dos 5 períodos) que seja equivalente, à mesma TMA, à série de rendimentos acima. Vou considerar que os rendimentos e a série uniforme ocorrem ao final de cada período (fluxo ao final do ano), que é o caso usual salvo indicação contrária.
Passo 2
Conceito e método (aulas rápidas, passo a passo, sem pular etapas).
- Dois fluxos são equivalentes a uma taxa
se tiverem o mesmo valor presente em um mesmo momento de referência (aqui tomo o instante inicial, tempo ). - Primeiro calculamos o valor presente
da série dada (somando cada rendimento trazido a descontando pela taxa). - Depois calculamos o valor uniforme
que tem o mesmo valor presente em períodos. A relação entre e é a fórmula do valor presente de uma anuidade (série uniforme):
- Isolando
obtemos a fórmula usada na prova:
Aqui:
-
= valor presente (em ) da série original (somatório dos valores descontados), -
= taxa por período ( ), -
= número de períodos ( ), -
= valor uniforme anual equivalente (mesmo valor nos períodos 1 a 5).
Passo 3
Cálculo dos fatores de desconto. Primeiro calculemos
para
, onde
.
Os fatores de desconto (recíprocos) são
. Vou calcular esses recíprocos porque precisamos trazer cada rendimento a
. Usei a relação
para computar com mais facilidade.
Passo 4
Cálculo do recíproco
e suas potências (essa é a mesma ideia de fator de desconto por período):
Então
(Expliquei como obter: primeiro o recíproco simples e depois multiplico sucessivamente para as potências seguintes. Esses valores são os fatores que multiplicam cada rendimento para trazê-lo a
.)
Passo 5
Trazer cada rendimento a
(valor presente parcial de cada fluxo) e somar para obter
. Para cada rendimento
no período
aplicamos
.
Agora somamos todos os
para obter o valor presente
:
Arredondando sensato para centavos:
.]
Passo 6
Calcular a anuidade
equivalente usando a fórmula que relaciona
e
:
Substituindo
,
e
(onde já calculamos
):
Arredondando para centavos (modo usual em finanças):
por ano, durante 5 anos.]