Um equipamento é comprado por
35.000,00
\mathrm{R} $45.000,00
a.a., qual o valor futuro do investimento?
Passo 1
Identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Preço de compra (saída no instante inicial):
. - Venda após 5 anos (entrada no instante
): . - O VPL (valor presente) das despesas anuais de manutenção, na data atual (ou seja, em
), é . - Receitas anuais (recebidas uma vez por ano):
(assumimos pagamentos ao final de cada ano, salvo indicação contrária). - Taxa mínima de atratividade (TMA) ou juros:
ao ano, isto é, .
- Preço de compra (saída no instante inicial):
- Pergunta:
- Qual o valor futuro do investimento? (Entendo que querem o montante líquido acumulado no instante
, ou seja, trazer todos os fluxos ao valor futuro em 5 anos e somá-los.)
- Qual o valor futuro do investimento? (Entendo que querem o montante líquido acumulado no instante
Passo 2
Plano de solução (o que vamos fazer, explicado de forma didática).
- Para obter o valor futuro em
de um investimento com vários fluxos, trazemos cada fluxo ao instante usando juros compostos e somamos. - Aplicaremos duas fórmulas básicas:
- Futuro de um montante único (single sum): se temos um valor presente
em , o valor futuro em é
onde é a taxa por período e o número de períodos.
2. Futuro de uma renda (anuidade ordinária) com pagamentosno final de cada período por períodos: Aqui é o valor de cada pagamento (receita anual), é a taxa e o número total de pagamentos. Essa fórmula dá o montante acumulado no final do último período. - Futuro de um montante único (single sum): se temos um valor presente
- Vamos:
- Calcular o fator
. - Trazer o custo de compra e o VPL das manutenções (ambos expressos em
) para com a fórmula do montante único. - Calcular o futuro das receitas anuais usando a fórmula da anuidade.
- Somar tudo (lembrando sinais: saídas negativas, entradas positivas) e interpretar o resultado.
- Calcular o fator
Passo 3
Calcular o fator de capitalização
.
- Temos
e . - Então
- Calculando passo a passo:
-
Passo 4
Trazer o custo de compra ao tempo
(é uma saída, sinal negativo).
- Fórmula:
. - Aqui
(saída), . - Então
- Arredondando para centavos:
Passo 5
Trazer o VPL das despesas de manutenção (dado em
) ao tempo
(também saída).
- O enunciado informou que o VPL das manutenções na data atual é
. Interpretamos isso como um valor presente de despesas (positivo como magnitude), então como fluxo é uma saída:
. - Aplicando a mesma fórmula:
- Arredondando para centavos:
Passo 6
Calcular o futuro das receitas anuais
(entradas), acumulado em
.
- Usamos a fórmula do futuro de uma anuidade ordinária:
onde
,
,
.
- Primeiro calculemos o numerador:
- Dividindo por
:
- Multiplicando por
:
- Arredondando:
Passo 7
Valor da venda em
.
- A venda é um recebimento direto em
de , portanto
Passo 8
Somar todos os valores em
para obter o valor futuro líquido do investimento.
- Listando os montantes já em
: - Compra:
- Manutenção:
- Receitas anuais acumuladas:
- Venda:
- Compra:
- Somando:
-
Calculemos em etapas:
- Soma das entradas:
- Soma das saídas:
- Diferença (entradas - saídas):
- Soma das entradas:
-
Portanto o valor futuro líquido em
é aproximadamente . -
Interpretação curta: o resultado negativo significa que, acumulando todos os fluxos ao fim dos 5 anos com a taxa de
a.a., o investimento apresenta um déficit de (ou seja, não recupera o capital exigido pela TMA).