Um equipamento é comprado por \mathrm{R} \ 35.000,00 sendo vendido após 5 anos poró\mathrm{R} $45.000,00 . O VPL das despesas anuais de manutenção equivale nesta data a R\$\(18.924,50\). As receitas anuais são de\(\mathrm{R} \\)7.000,00\(. Sendo a TMA d \)12 \% a.a., qual o valor futuro do investimento?

Passo 1

Identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Preço de compra (saída no instante inicial): \mathrm{R}\$\,35.000,00.
    • Venda após 5 anos (entrada no instante t=5): \mathrm{R}\$\,45.000,00.
    • O VPL (valor presente) das despesas anuais de manutenção, na data atual (ou seja, em t=0), é \mathrm{R}\$\,18.924,50.
    • Receitas anuais (recebidas uma vez por ano): \mathrm{R}\$\,7.000,00 (assumimos pagamentos ao final de cada ano, salvo indicação contrária).
    • Taxa mínima de atratividade (TMA) ou juros: 12\% ao ano, isto é, i=0{,}12.
  • Pergunta:
    • Qual o valor futuro do investimento? (Entendo que querem o montante líquido acumulado no instante t=5, ou seja, trazer todos os fluxos ao valor futuro em 5 anos e somá-los.)

Passo 2

Plano de solução (o que vamos fazer, explicado de forma didática).
  • Para obter o valor futuro em t=5 de um investimento com vários fluxos, trazemos cada fluxo ao instante t=5 usando juros compostos e somamos.
  • Aplicaremos duas fórmulas básicas:
    1. Futuro de um montante único (single sum): se temos um valor presente PV em t=0, o valor futuro em t=n é
    FV = PV \cdot (1+i)^n,onde i é a taxa por período e n o número de períodos.
    2. Futuro de uma renda (anuidade ordinária) com pagamentos A no final de cada período por n períodos: FV_{\text{anuidade}} = A \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}.Aqui A é o valor de cada pagamento (receita anual), i é a taxa e n o número total de pagamentos. Essa fórmula dá o montante acumulado no final do último período.
  • Vamos:
    1. Calcular o fator (1+i)^5.
    2. Trazer o custo de compra e o VPL das manutenções (ambos expressos em t=0) para t=5 com a fórmula do montante único.
    3. Calcular o futuro das receitas anuais usando a fórmula da anuidade.
    4. Somar tudo (lembrando sinais: saídas negativas, entradas positivas) e interpretar o resultado.

Passo 3

Calcular o fator de capitalização (1+i)^5.
  • Temos i=0{,}12 e n=5.
  • Então
(1+i)^5 = (1{,}12)^5.
  • Calculando passo a passo:
    • (1{,}12)^2 = 1{,}2544
    • (1{,}12)^3 = 1{,}2544\cdot1{,}12 = 1{,}404928
    • (1{,}12)^4 = 1{,}404928\cdot1{,}12 = 1{,}57351936
    • (1{,}12)^5 = 1{,}57351936\cdot1{,}12 = 1{,}7635416832. \] - Portanto o fator de capitalização é aproximadamente \[(1+i)^5 \approx 1{,}7635416832.\]

Passo 4

Trazer o custo de compra ao tempo t=5 (é uma saída, sinal negativo).
  • Fórmula: \displaystyle FV = PV\cdot(1+i)^n.
  • Aqui PV = -\mathrm{R}\$\,35.000{,}00 (saída), n=5.
  • Então
FV_{\text{compra}} = -35.000 \cdot 1{,}7635416832 \approx -61.723{,}958912.
  • Arredondando para centavos:
FV_{\text{compra}} \approx -\mathrm{R}\$\,61.723{,}96.

Passo 5

Trazer o VPL das despesas de manutenção (dado em t=0) ao tempo t=5 (também saída).
  • O enunciado informou que o VPL das manutenções na data atual é \mathrm{R}\$\,18.924{,}50. Interpretamos isso como um valor presente de despesas (positivo como magnitude), então como fluxo é uma saída:
    PV_{\text{manut}} = -18.924{,}50.
  • Aplicando a mesma fórmula:
FV_{\text{manut}} = -18.924{,}50 \cdot 1{,}7635416832 \approx -33.374{,}144584.
  • Arredondando para centavos:
FV_{\text{manut}} \approx -\mathrm{R}\$\,33.374{,}14.

Passo 6

Calcular o futuro das receitas anuais \mathrm{R}\$\,7.000{,}00 (entradas), acumulado em t=5.
  • Usamos a fórmula do futuro de uma anuidade ordinária:
FV_{\text{receitas}} = A \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i},
onde A=7.000, i=0{,}12, n=5.
  • Primeiro calculemos o numerador:
(1+i)^n - 1 = 1{,}7635416832 - 1 = 0{,}7635416832.
  • Dividindo por i:
\frac{(1+i)^n - 1}{i} = \frac{0{,}7635416832}{0{,}12} \approx 6{,}36284736.
  • Multiplicando por A:
FV_{\text{receitas}} = 7.000 \cdot 6{,}36284736 \approx 44.539{,}93152.
  • Arredondando:
FV_{\text{receitas}} \approx \mathrm{R}\$\,44.539{,}93.

Passo 7

Valor da venda em t=5.
  • A venda é um recebimento direto em t=5 de \mathrm{R}\$\,45.000{,}00, portanto
FV_{\text{venda}} = \mathrm{R}\$\,45.000{,}00.

Passo 8

Somar todos os valores em t=5 para obter o valor futuro líquido do investimento.
  • Listando os montantes já em t=5:
    • Compra: -\mathrm{R}\$\,61.723{,}96
    • Manutenção: -\mathrm{R}\$\,33.374{,}14
    • Receitas anuais acumuladas: +\mathrm{R}\$\,44.539{,}93
    • Venda: +\mathrm{R}\$\,45.000{,}00
  • Somando:
FV_{\text{líquido}} = -61.723{,}96 - 33.374{,}14 + 44.539{,}93 + 45.000{,}00.í
  • Calculemos em etapas:
    • Soma das entradas: 44.539{,}93 + 45.000{,}00 = 89.539{,}93
    • Soma das saídas: 61.723{,}96 + 33.374{,}14 = 95.098{,}10
    • Diferença (entradas - saídas): 89.539{,}93 - 95.098{,}10 = -5.558{,}17
  • Portanto o valor futuro líquido em t=5 é aproximadamente -\mathrm{R}\$\,5.558{,}17.
  • Interpretação curta: o resultado negativo significa que, acumulando todos os fluxos ao fim dos 5 anos com a taxa de 12\% a.a., o investimento apresenta um déficit de \mathrm{R}\$\,5.558{,}17 (ou seja, não recupera o capital exigido pela TMA).

Resposta

\mathrm{R}\$\, -5.558{,}17

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