Um ioiô é construído a partir de dois discos de massa m e raio R, os quais são unidos por um pequeno eixo cilíndrico de massa desprezável e raio b. Enrola-se um fio de massa desprezível em torno do eixo e liberta-se o ioiô na vertical a partir do repouso. Determine: (a) a aceleração angular do ioiô. (b) a aceleração do centro de massa do ioiô. (c) a tensão na corda.

Passo 1

O problema descreve um ioiô formado por dois discos, cada um de massa m e raio R, unidos por um eixo fino de raio b e massa desprezível; um fio de massa desprezível está enrolado nesse eixo. Ao soltar o ioiô verticalmente, ele desce desenrolando o fio.
Conteúdo envolvido: dinâmica de corpos rígidos (segunda lei de Newton para translação e rotação) e condição de não deslizamento (ligação entre aceleração linear do centro de massa e aceleração angular).

Passo 2

Desenhando o diagrama de corpo livre do ioiô e tomando para baixo como positivo na translação, temos duas forças: o peso mg para baixo e a tensão T para cima. Pela 2ª lei de Newton na direção vertical,
mg - T \;=\; m\,a_{\text{cm}}.
Para a rotação em torno do centro, a única torque externa é devido à tensão, de módulo T\,b. Definindo positivo o sentido de desenrolar (o mesmo de a_{\text{cm}}>0), a equação de rotação é
T\,b \;=\; I\,\alpha.

Passo 3

O momento de inércia total do ioiô, somando dois discos sólidos de massa m e raio R, é
I \;=\; 2\cdot\frac12\,mR^2 \;=\; mR^2.
A condição de não deslizamento entre fio e eixo dá a relação cinemática
a_{\text{cm}} \;=\; b\,\alpha.

Passo 4

Temos três equações:
(1)\quad mg - T = m\,a_{\text{cm}}, \quad (2)\quad T\,b = I\,\alpha, \quad (3)\quad a_{\text{cm}} = b\,\alpha.
Da (2) e (3) vem
T = \frac{I\,\alpha}{b} = \frac{I}{b}\,\frac{a_{\text{cm}}}{b} = \frac{I\,a_{\text{cm}}}{b^2}.
Substituindo em (1):
mg - \frac{I\,a_{\text{cm}}}{b^2} = m\,a_{\text{cm}} \quad\Longrightarrow\quad mg = a_{\text{cm}}\Bigl(m + \frac{I}{b^2}\Bigr).
Como I=mR^2,
m + \frac{I}{b^2} = m + \frac{mR^2}{b^2} = m\Bigl(1+\frac{R^2}{b^2}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad a_{\text{cm}} = \frac{mg}{m\bigl(1+\frac{R^2}{b^2}\bigr)} = \frac{g\,b^2}{b^2+R^2}.
Então
\alpha = \frac{a_{\text{cm}}}{b} = \frac{g\,b}{b^2+R^2}, \qquad T = \frac{I\,a_{\text{cm}}}{b^2} = \frac{mR^2}{b^2}\,\frac{g\,b^2}{b^2+R^2} = \frac{m g\,R^2}{b^2+R^2}.

Resposta

(a) \displaystyle \alpha = \frac{g\,b}{b^2+R^2}.
(b) \displaystyle a_{\text{cm}} = \frac{g\,b^2}{b^2+R^2}.
(c) \displaystyle T = \frac{m g\,R^2}{b^2+R^2}.

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