Dados os vetores \mathbf{M}=-10 \mathbf{a}_{x}+4 \mathbf{a}_{y}-8 \mathbf{a}_{z} \mathbf{e} \mathbf{N}=8 \mathbf{a}_{x}+7 \mathbf{a}_{y}-2 \mathbf{a}_{z}, encontre:
(a) um vetor unitário na direção de -\mathbf{M}+2 \mathbf{N}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathbf{M} = -10\,\mathbf{a}_x + 4\,\mathbf{a}_y - 8\,\mathbf{a}_z
e \mathbf{N} = 8\,\mathbf{a}_x + 7\,\mathbf{a}_y - 2\,\mathbf{a}_z
e pede um vetor unitário na direção de -\mathbf{M} + 2\,\mathbf{N}.
Para isso vamos somar vetores, calcular o módulo do resultado e depois normalizar (dividir pelo módulo).

Passo 2

Calcular -\mathbf{M} e 2\,\mathbf{N}, depois somar:
-\mathbf{M} = 10\,\mathbf{a}_x - 4\,\mathbf{a}_y + 8\,\mathbf{a}_z, \qquad 2\,\mathbf{N} = 16\,\mathbf{a}_x + 14\,\mathbf{a}_y - 4\,\mathbf{a}_z.
Somando:
\mathbf{V} = -\mathbf{M} + 2\,\mathbf{N} = (10+16)\,\mathbf{a}_x + (-4+14)\,\mathbf{a}_y + (8-4)\,\mathbf{a}_z = 26\,\mathbf{a}_x + 10\,\mathbf{a}_y + 4\,\mathbf{a}_z.

Passo 3

Calcular o módulo de \mathbf{V}.
\lvert \mathbf{V}\rvert = \sqrt{26^2 + 10^2 + 4^2} = \sqrt{676 + 100 + 16} = \sqrt{792} = 6\,\sqrt{22}.

Passo 4

O vetor unitário na direção de \mathbf{V} é
\hat{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{V}}{\lvert \mathbf{V}\rvert} = \frac{26\,\mathbf{a}_x + 10\,\mathbf{a}_y + 4\,\mathbf{a}_z}{6\,\sqrt{22}} = \frac{13\,\mathbf{a}_x + 5\,\mathbf{a}_y + 2\,\mathbf{a}_z}{3\,\sqrt{22}}.

Resposta

\displaystyle \frac{13\,\mathbf{a}_x + 5\,\mathbf{a}_y + 2\,\mathbf{a}_z}{3\,\sqrt{22}}

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