ionario 1
A solução da integral
, onde
é o retângulo
é
Escolha uma opção: ◯
◯
◯
◯
◯
a. 0
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção: ◯
◯
◯
◯
◯
a. 0
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde o domínio
é o retângulo dado por
-
, -
.
O que é pedido: o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo. Informações relevantes dadas: os limites de
e
do retângulo e a função integranda
.
Passo 2
Vamos transformar a integral dupla numa integral iterada (integrar primeiro em
e depois em
). Isso é permitido porque a função
é contínua em todo o retângulo
. Portanto podemos escrever
Aqui a ideia é: para a integral interna em
tratar
como constante, depois integrar o resultado em
.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Como
é constante na integração em
, podemos notar que a derivada de
em relação a
é
. Logo a primitiva de
em
é
. Portanto
E como
, a integral interna fica
Passo 4
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, reduzimos a integral dupla a uma integral simples em
:
Passo 5
Calcular a integral em
. Seja
. Temos
Aplicando com
,
Agora use
e
:
Passo 6
Resumo do raciocínio breve: integrando primeiro em
obtivemos
, depois integramos em
e avaliamos nos limites
e
, chegando ao resultado
. Bom trabalho — essa é uma técnica padrão: quando a integranda tem a variável
apenas dentro de um seno/cosseno com coeficiente envolvendo
, é geralmente conveniente integrar primeiro em
.