ionario 1

A solução da integral
\iint_{R} x \cos (x y) d A
, onde R é o retângulo 0 \leq x \leq 2 ; 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2} é
Escolha uma opção: ◯




a. 0
b. 2 \pi
c. \frac{\pi}{4}
d. 4 \pi
e. \frac{4}{\pi}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x \cos(xy)\, dA,
onde o domínio R é o retângulo dado por
  • 0 \leq x \leq 2,
  • 0 \leq y \leq \dfrac{\pi}{2}.
O que é pedido: o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo. Informações relevantes dadas: os limites de x e y do retângulo e a função integranda x\cos(xy).

Passo 2

Vamos transformar a integral dupla numa integral iterada (integrar primeiro em y e depois em x). Isso é permitido porque a função \,x\cos(xy)\, é contínua em todo o retângulo R. Portanto podemos escrever
\iint_{R} x\cos(xy)\,dA = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{\pi/2} x\cos(xy)\,dy\right)dx.
Aqui a ideia é: para a integral interna em y tratar x como constante, depois integrar o resultado em x.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=0}^{\pi/2} x\cos(xy)\,dy.
Como x é constante na integração em y, podemos notar que a derivada de \sin(xy) em relação a y é x\cos(xy). Logo a primitiva de x\cos(xy) em y é \sin(xy). Portanto
\int_{y=0}^{\pi/2} x\cos(xy)\,dy = \bigl[\sin(xy)\bigr]_{y=0}^{y=\pi/2} = \sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right) - \sin(0).
E como \sin(0)=0, a integral interna fica
\int_{y=0}^{\pi/2} x\cos(xy)\,dy = \sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right).

Passo 4

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, reduzimos a integral dupla a uma integral simples em x:
\iint_{R} x\cos(xy)\,dA = \int_{x=0}^{2} \sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral em x. Seja a=\dfrac{\pi}{2}. Temos
\int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax).
Aplicando com a=\dfrac{\pi}{2},
\int_{0}^{2} \sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\,dx = \left[-\frac{1}{a}\cos(ax)\right]_{0}^{2} = -\frac{1}{\tfrac{\pi}{2}}\bigl(\cos(\pi)-\cos(0)\bigr).
Agora use \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1:
-\frac{1}{\tfrac{\pi}{2}}\bigl(-1-1\bigr) = -\frac{2}{\pi}(-2) = \frac{4}{\pi}.

Passo 6

Resumo do raciocínio breve: integrando primeiro em y obtivemos \sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr), depois integramos em x e avaliamos nos limites 0 e 2, chegando ao resultado \dfrac{4}{\pi}. Bom trabalho — essa é uma técnica padrão: quando a integranda tem a variável y apenas dentro de um seno/cosseno com coeficiente envolvendo x, é geralmente conveniente integrar primeiro em y.

Resposta

\frac{4}{\pi}

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