Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{3}{1+9 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando o método da substituição. A integral dada é
\int \frac{3}{1+9 x^{2}}\, d x.
Informações relevantes: o numerador é a constante 3 e o denominador é 1+9x^{2}. O enunciado exige que se use substituição.

Passo 2

Idéia da substituição: procurar uma nova variável u que torne o integrando numa forma conhecida e fácil de integrar. Aqui vemos 1+9x^{2}=1+(3x)^{2}, então uma escolha natural é definir
u = 3x.
Essa escolha transforma a parte quadrática 9x^{2} em u^{2}, o que tende a simplificar a expressão.

Passo 3

Calcular a diferencial da substituição. Derivando u=3x obtemos
d u = 3\, d x.
Isolando d x,
d x = \frac{d u}{3}.
Agora substituímos u e d x na integral original:
\int \frac{3}{1+9 x^{2}}\, d x = \int \frac{3}{1+u^{2}}\cdot\frac{d u}{3}.
Percebe que o fator 3 do numerador cancela com o 1/3 vindo de d x, então sobra
\int \frac{1}{1+u^{2}}\, d u.

Passo 4

Integrar a função resultante. Sabendo a antiderivada padrão,
\int \frac{1}{1+u^{2}}\, d u = \arctan(u)+C,
onde C é a constante de integração. Explicando rapidamente por que isso é verdade: se y=\arctan(u) então u=\tan(y) e du/dy=\operatorname{sec}^{2}(y)=1+\tan^{2}(y)=1+u^{2}; invertendo, dy/du=1/(1+u^{2}), logo a derivada de \arctan(u) é 1/(1+u^{2}), o que garante que a antiderivada é \arctan(u).

Passo 5

Voltar à variável original x fazendo u=3x. Assim a antiderivada da integral inicial é
\arctan(3x)+C.
Para conferir rapidamente, aplica-se a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+(3x)^{2}}=\dfrac{3}{1+9x^{2}}, que é exatamente o integrando dado.

Resposta

\arctan(3x)+C

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