Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando o método da substituição. A integral dada é
Informações relevantes: o numerador é a constante
e o denominador é
. O enunciado exige que se use substituição.
Passo 2
Idéia da substituição: procurar uma nova variável
que torne o integrando numa forma conhecida e fácil de integrar. Aqui vemos
, então uma escolha natural é definir
Essa escolha transforma a parte quadrática
em
, o que tende a simplificar a expressão.
Passo 3
Calcular a diferencial da substituição. Derivando
obtemos
Isolando
,
Agora substituímos
e
na integral original:
Percebe que o fator
do numerador cancela com o
vindo de
, então sobra
Passo 4
Integrar a função resultante. Sabendo a antiderivada padrão,
onde
é a constante de integração. Explicando rapidamente por que isso é verdade: se
então
e
; invertendo,
, logo a derivada de
é
, o que garante que a antiderivada é
.
Passo 5
Voltar à variável original
fazendo
. Assim a antiderivada da integral inicial é
Para conferir rapidamente, aplica-se a regra da cadeia:
, que é exatamente o integrando dado.