Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule, usando o método da substituição, a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda é
. - Deve-se usar o método da substituição.
- Não há imagem ou dados adicionais.
- Observação importante sobre domínio:
só está definida para , e o integrando tem problema em (pois ). Então a integral é tratada para com .
Passo 2
Rápida revisão do método da substituição (didática e prática).
- Ideia: se a integral contém uma parte que é derivada de outra parte presente, dá para trocar de variável e simplificar. Faz-se uma mudança
e usa-se para reescrever a integral em termos de . - Fórmula-chave: se
e , então
- Aqui procuro uma escolha de
tal que apareça proporcional a , pois vejo um no denominador e um .
Passo 3
Escolha da substituição apropriada.
- Como aparece
no denominador, escolho
- Calculo
. Derivando em relação a :
- Reescrevendo, temos
Essa expressão é exatamente a parte
que aparece na integral original.
Passo 4
Reescrever a integral em
e integrar.
- Substituindo
e , a integral vira
- Agora uso a integral básica (fórmula): para
,
onde
é a constante de integração. Explico por que o valor absoluto: a função
tem primitiva
porque a derivada de
é
tanto para
quanto para
.
Passo 5
Voltar à variável original e discutir domínio.
- Substituo
de volta:
- Observação sobre domínio: como já notei,
só existe para . Para tem e . Para tem e a primitiva fica , que é a mesma expressão . Em a integral não faz sentido (singularidade).
Passo 6
Verificação rápida (diferenciação para checar).
- Derivo a resposta para conferir:
portanto a primitiva está correta.