Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{d x}{x \ln x}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, usando o método da substituição, a integral indefinida
\int \frac{d x}{x \ln x}.
Informações dadas:
  • A integranda é \dfrac{1}{x\ln x}.
  • Deve-se usar o método da substituição.
  • Não há imagem ou dados adicionais.
  • Observação importante sobre domínio: \ln x só está definida para x>0, e o integrando tem problema em x=1 (pois \ln 1=0). Então a integral é tratada para x>0 com x\neq1.

Passo 2

Rápida revisão do método da substituição (didática e prática).
  • Ideia: se a integral contém uma parte que é derivada de outra parte presente, dá para trocar de variável e simplificar. Faz-se uma mudança u = g(x) e usa-se du = g'(x)\,dx para reescrever a integral em termos de u.
  • Fórmula-chave: se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
  • Aqui procuro uma escolha de u tal que du apareça proporcional a dx/x, pois vejo um x no denominador e um \ln x.

Passo 3

Escolha da substituição apropriada.
  • Como aparece \ln x no denominador, escolho
u=\ln x.
  • Calculo du. Derivando u em relação a x:
du=\frac{d}{dx}(\ln x)\,dx=\frac{1}{x}\,dx.
  • Reescrevendo, temos
\frac{dx}{x}=du.
Essa expressão é exatamente a parte dx/x que aparece na integral original.

Passo 4

Reescrever a integral em u e integrar.
  • Substituindo \dfrac{dx}{x}=du e \ln x = u, a integral vira
\int \frac{dx}{x\ln x}=\int \frac{du}{u}.
  • Agora uso a integral básica (fórmula): para u\neq0,
\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C,
onde C é a constante de integração. Explico por que o valor absoluto: a função \dfrac{1}{u} tem primitiva \ln|u| porque a derivada de \ln|u| é \dfrac{1}{u} tanto para u>0 quanto para u<0.

Passo 5

Voltar à variável original e discutir domínio.
  • Substituo u=\ln x de volta:
\int \frac{dx}{x\ln x}=\ln\bigl|\ln x\bigr|+C.
  • Observação sobre domínio: como já notei, \ln x só existe para x>0. Para x>1 tem \ln x>0 e \ln|\ln x|=\ln(\ln x). Para 0<x<1 tem \ln x<0 e a primitiva fica \ln(-\ln x), que é a mesma expressão \ln|\ln x|. Em x=1 a integral não faz sentido (singularidade).

Passo 6

Verificação rápida (diferenciação para checar).
  • Derivo a resposta para conferir:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln|\ln x|\bigr)=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln x},
portanto a primitiva está correta.

Resposta

\ln\bigl|\ln x\bigr|+C

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