Os íons \mathrm{Fe}^{3+} e \mathrm{Mg}^{2+} podem ser separados quantitativamente como hidróxidos, a partir de uma solução 0,10 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} de cada cátion?
\mathrm{K}_{\mathrm{ps}} \mathrm{Fe}(\mathrm{OH})_{3}=2,0 \times 10^{-39} \quad \mathrm{~K}_{\mathrm{ps}} \mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2}=7,1 \times 10^{-12}
Qual intervalo de \left[\mathrm{OH}^{-}\right]permitiria a separação?

Passo 1

O enunciado pergunta se os íons \mathrm{Fe}^{3+} e \mathrm{Mg}^{2+} podem ser separados quantitativamente como hidróxidos, a partir de uma solução em que cada cátion tem concentração inicial 0,10\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. Os dados fornecidos são os solubilidades (produtos de solubilidade):
K_{sp}\big(\mathrm{Fe(OH)}_3\big)=2,0\times10^{-39}, \qquad K_{sp}\big(\mathrm{Mg(OH)}_2\big)=7,1\times10^{-12}.
O que se pede: determinar o intervalo de \left[\mathrm{OH}^-\right] que permitiria separar quantitativamente um do outro por precipitação seletiva de hidróxidos (ou seja: precipitar um íon enquanto o outro permanece em solução).

Passo 2

Conceito e condição de precipitação (aula rápida e prática).
  • Para um hidróxido geral \mathrm{M(OH)}_n vale a expressão do produto de solubilidade:
K_{sp} = [\mathrm{M}^{z+}]\;[\mathrm{OH}^-]^n,
onde n é o número de hidróxidos ligados ao cátion (por ex. n=3 para \mathrm{Fe(OH)}_3, n=2 para \mathrm{Mg(OH)}_2), e [\mathrm{M}^{z+}] é a concentração do cátion em solução (em mol L ^{-1}).
  • A precipitação começa quando o produto iônico Q=[\mathrm{M}^{z+}][\mathrm{OH}^-]^n ultrapassa K_{sp}. Para encontrar o valor de [\mathrm{OH}^-] em que o sal começa a se precipitar (condição de saturação), iguala-se Q=K_{sp} e resolve-se para [\mathrm{OH}^-]:
[\mathrm{OH}^-] = \left(\dfrac{K_{sp}}{[\mathrm{M}^{z+}]}\right)^{1/n}.
Aqui usaremos como [\mathrm{M}^{z+}] a concentração inicial indicada no enunciado, 0,10\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}, para determinar o limiar de início da precipitação para cada hidróxido.

Passo 3

Limiar de precipitação para \mathrm{Fe(OH)}_3.
  • A relação é
K_{sp}\big(\mathrm{Fe(OH)}_3\big) = [\mathrm{Fe}^{3+}]\;[\mathrm{OH}^-]^3.
  • Igualando e isolando [\mathrm{OH}^-]:
[\mathrm{OH}^-] = \left(\dfrac{K_{sp}(\mathrm{Fe(OH)}_3)}{[\mathrm{Fe}^{3+}]}\right)^{1/3}.
  • Substituindo K_{sp}=2,0\times10^{-39} e [\mathrm{Fe}^{3+}]=0,10:
\frac{K_{sp}}{[\mathrm{Fe}^{3+}]}=\frac{2,0\times10^{-39}}{0,10}=2,0\times10^{-38}.
  • Agora a raiz cúbica: escrevendo 2,0\times10^{-38} = 2,0^{\;}\times10^{-38},
[\mathrm{OH}^-] = 2,0^{1/3}\times10^{-38/3}.
Cálculo feito “na mão”:
2,0^{1/3}\approx1,26,\qquad -\tfrac{38}{3}=-12,666\ldots
10^{-12,666\ldots}=10^{-13}\times10^{0,333\ldots}\approx10^{-13}\times2,154.
Multiplicando:
[\mathrm{OH}^-]_{\text{lim,Fe}}\approx1,26\times2,154\times10^{-13}\approx2,7\times10^{-13}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Portanto a precipitação de \mathrm{Fe(OH)}_3 começa quando [\mathrm{OH}^-]\gtrsim2,7\times10^{-13}\\ \mathrm{M}.

Passo 4

Limiar de precipitação para \mathrm{Mg(OH)}_2.
  • A relação é
K_{sp}\big(\mathrm{Mg(OH)}_2\big) = [\mathrm{Mg}^{2+}]\;[\mathrm{OH}^-]^2.
  • Isolando [\mathrm{OH}^-]:
[\mathrm{OH}^-] = \left(\dfrac{K_{sp}(\mathrm{Mg(OH)}_2)}{[\mathrm{Mg}^{2+}]}\right)^{1/2}.
  • Substituindo K_{sp}=7,1\times10^{-12} e [\mathrm{Mg}^{2+}]=0,10:
\frac{K_{sp}}{[\mathrm{Mg}^{2+}]}=\frac{7,1\times10^{-12}}{0,10}=7,1\times10^{-11}.
  • Raiz quadrada:
[\mathrm{OH}^-]_{\text{lim,Mg}}=\sqrt{7,1\times10^{-11}}=\sqrt{7,1}\times10^{-11/2}.
\sqrt{7,1}\approx2,6646,\qquad -\tfrac{11}{2}=-5,5,\quad 10^{-5,5}=10^{-6}\times10^{0,5}\approx10^{-6}\times3,1623.
Multiplicando:
[\mathrm{OH}^-]_{\text{lim,Mg}}\approx2,6646\times3,1623\times10^{-6}\approx8,43\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Assim a precipitação de \mathrm{Mg(OH)}_2 começa quando [\mathrm{OH}^-]\gtrsim8,4\times10^{-6}\\ \mathrm{M}.

Passo 5

Interpretação e intervalo de separação.
  • Ordem dos limiares: \;[\mathrm{OH}^-]_{\text{lim,Fe}}\approx2,7\times10^{-13}\\ \mathrm{M}\ll[\mathrm{OH}^-]_{\text{lim,Mg}}\approx8,4\times10^{-6}\\ \mathrm{M}.
    Isto significa que, ao aumentar a concentração de \mathrm{OH}^-, o \mathrm{Fe(OH)}_3 começa a se formar muito antes do \mathrm{Mg(OH)}_2.
  • Para separar quantitativamente por precipitação seletiva (isto é, precipitar \mathrm{Fe(OH)}_3 enquanto \mathrm{Mg}^{2+} permanece em solução), é preciso manter a concentração de \mathrm{OH}^- em um intervalo em que a condição para precipitar Fe seja satisfeita, mas a condição para precipitar Mg não seja. Portanto o intervalo desejado é
2,7\times10^{-13}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} \;<\; [\mathrm{OH}^-] \;<\; 8,4\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Para intuição em termos de pH/pOH: para os limites calculados tem-se aproximadamente
\text{pOH}_{\text{Fe}}\approx -\log_{10}(2,7\times10^{-13})\approx12,57\quad\Rightarrow\quad \text{pH}\approx1,43,
\text{pOH}_{\text{Mg}}\approx -\log_{10}(8,4\times10^{-6})\approx5,07\quad\Rightarrow\quad \text{pH}\approx8,93.
Ou seja, teoricamente existe uma grande faixa de pH (aproximadamente 1,4 a 8,9) em que \mathrm{Fe(OH)}_3 já está insolúvel mas \mathrm{Mg(OH)}_2 ainda permanece dissolvido — o que permite a separação por precipitação do ferro sem precipitar magnésio.
Observação prática rápida (sem alterar o resultado matemático): para que a separação seja realmente “quantitativa” convém escolher [\mathrm{OH}^-] suficientemente acima do limite de Fe (para reduzir muito a concentração residual de \mathrm{Fe}^{3+} em solução), mas ainda abaixo do limite de Mg; na prática isso é feito controlando o pH cuidadosamente e tendo em conta complexação/hidrólise real do \mathrm{Fe}^{3+}.

Resposta

2,7\times10^{-13}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} < [\mathrm{OH}^-] < 8,4\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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