Os íons \mathrm{Fe}^{3+} e \mathrm{Mg}^{2+} podem ser separados quantitativamente como hidróxidos, a partir de uma solução 0,10 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} de cada cátion?
\mathrm{K}_{\mathrm{ps}} \mathrm{Fe}(\mathrm{OH})_{3}=2,0 \times 10^{-39} \quad \mathrm{~K}_{\mathrm{ps}} \mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2}=7,1 \times 10^{-12}
Qual intervalo de [ \mathrm{OH}^{-}] permitiria a separação?
  1. Quem precipita primeiro?
  2. Calcular a \left[\mathrm{OH}^{-}\right]para a precipitação quantitativa do \mathrm{Fe}^{3+} ?
  3. Calcular a \left[\mathrm{OH}^{-}\right]na qual o \mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2} começa a precipitar?

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (peguei do enunciado):
    • Concentração inicial de cada cátion: [{\rm Fe^{3+}}]_0 = 0,10\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} e [{\rm Mg^{2+}}]_0 = 0,10\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
    • Produtos de solubilidade: K_{\mathrm{ps}}\big(\mathrm{Fe(OH)}_{3}\big)=2,0\times10^{-39}, \qquad K_{\mathrm{ps}}\big(\mathrm{Mg(OH)}_{2}\big)=7,1\times10^{-12}.
  • O enunciado pede:
    • Qual intervalo de [\mathrm{OH}^-] permitiria separar quantitativamente os dois íons (ou seja, precipitar o \mathrm{Fe}^{3+} enquanto o \mathrm{Mg}^{2+} permanece em solução)?
      1. Quem precipita primeiro?
      1. Calcular a [\mathrm{OH}^-] para a precipitação quantitativa do \mathrm{Fe}^{3+}.
      1. Calcular a [\mathrm{OH}^-] na qual o \mathrm{Mg(OH)}_{2} começa a precipitar?

Passo 2

Conceitos essenciais e como usá-los (aula rápida e prática).
  • Produto de solubilidade ( K_{\mathrm{ps}}): para um sal pouco solúvel, em equilíbrio entre sólido e íons em solução vale uma expressão do tipo
    • Para \mathrm{Fe(OH)}_{3}: K_{\mathrm{ps}}(\mathrm{Fe(OH)}_{3})=\big[\mathrm{Fe^{3+}}\big]\big[\mathrm{OH^-}\big]^{3}.Aqui \big[\mathrm{Fe^{3+}}\big] é a concentração de íon ferro em mol L^{-1} na solução em equilíbrio, e \big[\mathrm{OH^-}\big] é a concentração de hidróxido.
    • Para \mathrm{Mg(OH)}_{2}: K_{\mathrm{ps}}(\mathrm{Mg(OH)}_{2})=\big[\mathrm{Mg^{2+}}\big]\big[\mathrm{OH^-}\big]^{2}.
  • Condição de início de precipitação: o precipitado começa a formar-se quando o produto iônico (aqui [\mathrm{M^{z+}}][\mathrm{OH^-}]^{n}) se torna igual a K_{\mathrm{ps}}. Se o produto iônico for maior que K_{\mathrm{ps}}, precipita; se for menor, não precipita.
  • Para encontrar o [\mathrm{OH^-}] em que um dado sal começa a precipitar dado [\mathrm{M^{z+}}] inicial, basta isolar [\mathrm{OH^-}] na expressão do K_{\mathrm{ps}}.

Passo 3

Calcular [\mathrm{OH^-}] no momento em que cada hidróxido começa a precipitar (passo a passo).
  • Para \mathrm{Fe(OH)}_{3} (começo da precipitação):
    K_{\mathrm{ps}}(\mathrm{Fe(OH)}_{3})=\big[\mathrm{Fe^{3+}}\big]\big[\mathrm{OH^-}\big]^{3}.
    No início da precipitação usamos a concentração inicial do cátion (aqui assumimos que ainda não houve consumo significativo):
    \big[\mathrm{Fe^{3+}}\big]=0,10.
    Isolando [\mathrm{OH^-}]:
    \big[\mathrm{OH^-}\big]=\left(\dfrac{K_{\mathrm{ps}}(\mathrm{Fe(OH)}_{3})}{\big[\mathrm{Fe^{3+}}\big]}\right)^{1/3} =\left(\dfrac{2,0\times10^{-39}}{0,10}\right)^{1/3}.
    Calculemos com cuidado:
    \dfrac{2,0\times10^{-39}}{0,10}=2,0\times10^{-38}.
    A raiz cúbica de 2,0\times10^{-38} é
    \big[\mathrm{OH^-}\big]_{\text{início Fe}}=(2,0\times10^{-38})^{1/3} \approx2,7\times10^{-13}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.í
    (detalhe do cálculo: (2)^{1/3}\approx1,26 e 10^{-38/3}=10^{-12,666\ldots}, multiplicando dá \approx2,7\times10^{-13}.)
  • Para \mathrm{Mg(OH)}_{2} (começo da precipitação):
    K_{\mathrm{ps}}(\mathrm{Mg(OH)}_{2})=\big[\mathrm{Mg^{2+}}\big]\big[\mathrm{OH^-}\big]^{2}, \qquad \big[\mathrm{Mg^{2+}}\big]=0,10.
    Isolando [\mathrm{OH^-}]:
    \big[\mathrm{OH^-}\big]=\left(\dfrac{K_{\mathrm{ps}}(\mathrm{Mg(OH)}_{2})}{\big[\mathrm{Mg^{2+}}\big]}\right)^{1/2} =\left(\dfrac{7,1\times10^{-12}}{0,10}\right)^{1/2}.
    Calculemos:
    \dfrac{7,1\times10^{-12}}{0,10}=7,1\times10^{-11},
\big[\mathrm{OH^-}\big]_{\text{início Mg}}=(7,1\times10^{-11})^{1/2} \approx8,4\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.í
(detalhe: \sqrt{7,1}\approx2,6646 e \sqrt{10^{-11}}=10^{-5,5}, resultando em \approx8,4\times10^{-6}.)

Passo 4

Comparação e conclusão sobre quem precipita primeiro e intervalo de separação.
  • Interpretando os números: \big[\mathrm{OH^-}\big]_{\text{início Fe}}\approx2,7\times10^{-13}í e \big[\mathrm{OH^-}\big]_{\text{início Mg}}\approx8,4\times10^{-6}í.
  • Quem precipita primeiro? O \mathrm{Fe(OH)}_{3} precisa de muito menos [\mathrm{OH^-}] para começar a precipitar (valor muito menor), logo o \mathrm{Fe}^{3+} precipita primeiro.
  • Intervalo de [\mathrm{OH^-}] que permite separar (isto é, onde já há precipitação de \mathrm{Fe(OH)}_{3} mas ainda NÃO de \mathrm{Mg(OH)}_{2}): 2,7\times10^{-13}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} \;<\; \big[\mathrm{OH^-}\big] \;<\; 8,4\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.Dentro desse intervalo é possível precipitar (e, com aumento controlado de [\mathrm{OH^-}], remover praticamente todo o \mathrm{Fe}^{3+}) sem precipitar o \mathrm{Mg}^{2+}.

Passo 5

O que significa “precipitação quantitativa” do \mathrm{Fe}^{3+} e qual [\mathrm{OH^-}] usar na prática.
  • Duas interpretações possíveis (e por que uma delas é a prática correta aqui):
    • Interpretação 1 (estequiométrica): adicionar OH^- na estequiometria 3\,[\mathrm{OH^-}] por cada [\mathrm{Fe^{3+}}] para reagir completamente: para [{\rm Fe^{3+}}]_0=0,10 seria necessário [{\rm OH^-}]_{\text{esteq}}=3\times0,10=0,30\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}. Porém esse é o total de base necessária para consumir todo o ferro por reação; esse valor de [\mathrm{OH^-}] em solução é enorme e muito maior do que o limite em que \mathrm{Mg(OH)}_{2} precipita, então com essa abordagem o magnésio também precipitaria — portanto não serve para separação.
    • Interpretação 2 (prática analítica): escolher uma [\mathrm{OH^-}] tal que o equilíbrio solubilidade do \mathrm{Fe(OH)}_{3} deixe uma concentração residual de \mathrm{Fe^{3+}} negligível (ou seja, praticamente todo o ferro está no sólido), mas ainda menor que o valor que faz começar a precipitar \mathrm{Mg(OH)}_{2}. Isto é, usar [\mathrm{OH^-}] dentro do intervalo de separação e preferencialmente próximo do limite superior (para garantir que o ferro que já começou a precipitar seja praticamente todo removido), sem ultrapassar o ponto onde o \mathrm{Mg(OH)}_{2} começa.
  • Exemplo numérico prático: se escolhermos \big[\mathrm{OH^-}\big]=8,0\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} (um pouco abaixo de 8,4\times10^{-6}), a concentração de \mathrm{Fe^{3+}} em equilíbrio será \big[\mathrm{Fe^{3+}}\big]_{\text{eq}}=\dfrac{K_{\mathrm{ps}}(\mathrm{Fe(OH)}_{3})}{\big[\mathrm{OH^-}\big]^{3}} =\dfrac{2,0\times10^{-39}}{(8,0\times10^{-6})^{3}} \approx3,9\times10^{-24}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}},ou seja, essencialmente zero — isto é “quantitativo” do ponto de vista analítico: virtualmente todo o ferro saiu da solução e está como sólido. Observe que este valor de [\mathrm{OH^-}] ainda é menor que o que inicia a precipitação do magnésio, então a separação é bem-sucedida.
  • Conclusão prática: para precipitação quantitativa (analítica) do \mathrm{Fe}^{3+} sem precipitar \mathrm{Mg}^{2+}, escolher [\mathrm{OH^-}] dentro do intervalo calculado e preferencialmente muito próximo do limite superior, por exemplo \sim10^{-6} a 8,0\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Resposta

Intervalo de separação: 2,7\times10^{-13}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}<\big[\mathrm{OH^-}\big]<8,4\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
  1. Precipita primeiro: \mathrm{Fe(OH)}_{3} (ou seja, \mathrm{Fe^{3+}}).
  2. \big[\mathrm{OH^-}\big] para precipitação quantitativa do \mathrm{Fe^{3+}} (prática analítica): usar [\mathrm{OH^-}] próximo, mas abaixo, de 8,4\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} (por exemplo \approx8,0\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}).
  3. [\mathrm{OH^-}] em que \mathrm{Mg(OH)}_{2} começa a precipitar: \;8,4\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

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