Considere uma substância qualquer que esteja sujeita a uma variação de pressão.
Calcule a variação da energia de Gibbs molar dessa substância em fase gasosa, quando a pressão aumenta isotermicamente, a 298 K , de 1.0 atm para 200 atm . Considere que o gás possui comportamento ideal.

Passo 1

O enunciado pede a variação da energia de Gibbs molar quando a pressão aumenta isotermicamente de 1{,}0\\ \text{atm} para 200\\ \text{atm} a 298\\ \text{K}, considerando comportamento ideal do gás. Dados fornecidos:
  • Temperatura: T = 298\\ \text{K}.
  • Pressão inicial: P_1 = 1{,}0\\ \text{atm}.
  • Pressão final: P_2 = 200\\ \text{atm}.
  • O gás é ideal (essa hipótese será usada na fórmula abaixo).
    A pergunta é: qual é a variação da energia de Gibbs molar \Delta\bar G entre os estados correspondentes a P_1 e P_2 à temperatura dada?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar. Para um gás ideal, a energia de Gibbs molar (que é a mesma que o potencial químico \mu de uma substância pura) depende da pressão segundo a relação
\mu(T,P)=\mu^\circ(T)+RT\ln\!\left(\frac{P}{P^\circ}\right),
onde:
  • \mu(T,P) é a energia de Gibbs molar à temperatura T e pressão P.
  • \mu^\circ(T) é a energia de referência numa pressão padrão P^\circ (não precisamos do seu valor aqui).
  • R é a constante universal dos gases, com unidades \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • T é a temperatura em kelvin.
  • \ln é o logaritmo natural.
    Essa fórmula vem da integração da relação d\mu = RT\,dP/P válida para gás ideal à temperatura constante.

Passo 3

A variação da energia de Gibbs molar entre P_1 e P_2 à mesma temperatura T é então
\Delta\bar G=\mu(T,P_2)-\mu(T,P_1)=RT\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Explicando: \Delta\bar G é a diferença entre os dois potenciais químicos; as constantes de referência \mu^\circ(T) cancelam. Note que a razão \dfrac{P_2}{P_1} é adimensional, logo pode-se usar atm nas pressões porque elas aparecem apenas na razão.

Passo 4

Escolher valores numéricos e unidades. Usaremos R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} (valor usual em SI). Então primeiro calculamos RT:
RT = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}\times 298\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular RT. Multiplicando:
RT \approx 8{,}314462618\times 298 \approx 2477{,}71\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
(Arredondei para duas casas decimais em \mathrm{J\,mol^{-1}}.)

Passo 6

Calcular o logaritmo natural da razão de pressões:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln(200)=\ln(2)+\ln(100)=0{,}693147+\;4{,}605170\approx 5{,}298317.

Passo 7

Agora multiplicar RT pelo logaritmo:
\Delta\bar G = RT\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\approx 2477{,}71\times 5{,}298317 \approx 1{,}31\times 10^{4}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Convertendo para quilojoules por mol:
\Delta\bar G \approx 13{,}1\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
O sinal positivo indica que a energia de Gibbs molar aumenta quando a pressão é elevada isotermicamente (para um gás ideal).

Resposta

\Delta\bar G \approx 1{,}31\times 10^{4}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 13{,}1\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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