Para ir da cidade A para a cidade B existem 4 rodovias; de B para C , existem 3 rodovias. De quantas maneiras diferentes é possível ir de A até C , passando obrigatoriamente por B?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existem \,4\, rodovias que ligam a cidade A à cidade B.
  • Existem \,3\, rodovias que ligam a cidade B à cidade C.
O que a questão pede:
  • Determinar de quantas maneiras diferentes é possível ir de A até C passando obrigatoriamente por B.

Passo 2

Conceito que vamos usar: princípio multiplicativo (regra do produto).
  • Se uma escolha pode ser feita de \,m\, maneiras e, para cada uma dessas escolhas, outra escolha pode ser feita de \,n\, maneiras, então o número total de pares de escolhas é \,m\cdot n\,.
  • Intuição simples: para cada uma das \,m\, opções da primeira etapa existem \,n\, opções da segunda etapa; somando sobre as m primeiras opções obtemos n+n+\dots+n ( m vezes), isto é \,m\cdot n\,.
  • Exemplo concreto e pequeno: se há \,2\, camisas e \,3\, calças, o número de combinações camisa+calça é \,2\cdot 3=6\,.

Passo 3

Aplicando ao problema:
  • A primeira etapa é escolher a rodovia de A para B: há \,4\, escolhas.
  • A segunda etapa é escolher a rodovia de B para C: há \,3\, escolhas.
    Pelo princípio multiplicativo, o número total de trajetos A\to B\to C é
4\cdot 3.

Passo 4

Cálculo final da multiplicação (feita de maneira bem direta):
4\cdot 3 = 12.
Uma maneira de visualizar: numerar as rodovias A\to B como r_1,r_2,r_3,r_4 e as rodovias B\to C como s_1,s_2,s_3. Cada trajeto é um par (r_i,s_j). Há \,4\, possibilidades para i e \,3\, para j, totalizando \,4\times 3=12\, pares distintos.

Resposta

12 maneiras.

Exercícios relacionados