Um irradiador ideal tem uma radiância espectral em 400 nm que é 3,50 vezes sua radiância espectral a 200 nm . Qual é a sua temperatura?

Passo 1

Resumo do enunciado: um corpo negro (irradiador ideal) emite radiação espectral dada pela lei de Planck. Sabemos que a radiância espectral em \lambda_1=400\\ \mathrm{nm} é 3,50 vezes a radiância em \lambda_2=200\\ \mathrm{nm}. O que precisamos é usar a lei de Planck para L_\lambda(T) e igualar a razão \displaystyle \frac{L_{400}(T)}{L_{200}(T)}=3{,}50 para achar a temperatura T.

Passo 2

Escrevemos a lei de Planck para a radiância espectral em função do comprimento de onda:
L_\lambda(T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\,\frac{1}{\exp\!\bigl(\frac{hc}{\lambda kT}\bigr)-1},
onde h é a constante de Planck, c a velocidade da luz e k a constante de Boltzmann.

Passo 3

Formamos a razão das radiâncias em \lambda_1=400\\ \mathrm{nm} e em \lambda_2=200\\ \mathrm{nm}:
\frac{L_{400}(T)}{L_{200}(T)} =\frac{\displaystyle \frac{2hc^2}{(400\,\mathrm{nm})^5}\,\frac{1}{e^{hc/(400\,\mathrm{nm}\,kT)}-1}} {\displaystyle \frac{2hc^2}{(200\,\mathrm{nm})^5}\,\frac{1}{e^{hc/(200\,\mathrm{nm}\,kT)}-1}}.
Os fatores 2hc^2 cancelam, ficando
\frac{L_{400}}{L_{200}} =\frac{(200\,\mathrm{nm})^5}{(400\,\mathrm{nm})^5}\, \frac{\exp\!\bigl(\tfrac{hc}{200\,\mathrm{nm}\,kT}\bigr)-1} {\exp\!\bigl(\tfrac{hc}{400\,\mathrm{nm}\,kT}\bigr)-1}.

Passo 4

Note que \,(200/400)^5=(1/2)^5=1/32. Definindo
x=\frac{hc}{400\,\mathrm{nm}\,kT},
temos \exp\!\bigl(\tfrac{hc}{200\,\mathrm{nm}\,kT}\bigr)=e^{2x}. Assim
\frac{L_{400}}{L_{200}} =\frac{1}{32}\,\frac{e^{2x}-1}{e^x-1} =\frac{1}{32}(e^x+1).

Passo 5

Pelo enunciado vale
\frac{L_{400}}{L_{200}}=3{,}50,
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\frac{e^x+1}{32}=3{,}50 \quad\Longrightarrow\quad e^x+1=3{,}50\times 32=112 \quad\Longrightarrow\quad e^x=111.
Tomando o logaritmo natural:
x=\ln(111)\approx4{,}7095.

Passo 6

Voltando à definição de x, temos
x=\frac{hc}{400\times10^{-9}\,\mathrm{m}\;\,kT} =\frac{b}{400\times10^{-9}\,T},
onde b=\tfrac{hc}{k}\approx1{,}439\times10^{-2}\,\mathrm{m\cdot K}.
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T=\frac{b}{400\times10^{-9}\times x} =\frac{1{,}439\times10^{-2}}{4\times10^{-7}\times4{,}7095} \approx7{,}64\times10^{3}\\ \mathrm{K}.

Resposta

A temperatura do irradiador é aproximadamente 7{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{K}.

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