Em termos da teoria das capacidades caloríticas de Einstein, (a) qual é a capacidade calorífica molar de um sólido, a volume constante, em sua temperatura de Einstein? Expresse sua resposta como uma porcentagem de seu valor clássico, 3 R. (b) Qual é a energia interna molar na temperatura de Einstein? Expresse sua resposta como uma porcentagem de seu valor clássico, 3 R T.

Passo 1

O modelo de Einstein para um sólido monoestrutural dá as seguintes fórmulas por mol, a volume constante:
C_{V}(T)=3R\;\frac{x^{2}e^{x}}{\bigl(e^{x}-1\bigr)^{2}} \quad\text{e}\quad U(T)=3R\,T\;\frac{x}{e^{x}-1},
onde x=\theta_{E}/T e \theta_{E} é a temperatura de Einstein. A parte (a) pede C_{V} em T=\theta_{E} como porcentagem de 3R; a parte (b) pede U em T=\theta_{E} como porcentagem de 3R\,T.

Passo 2

Para T=\theta_{E} temos x=1. Logo
C_{V}(\theta_{E}) =3R\;\frac{1^{2}e^{1}}{(e^{1}-1)^{2}} =3R\;\frac{e}{(e-1)^{2}}.

Passo 3

O fator de redução relativo ao valor clássico 3R é
\frac{C_{V}(\theta_{E})}{3R} =\frac{e}{(e-1)^{2}} \approx\frac{2,71828}{(1,71828)^{2}} \approx0,920.
Como porcentagem, isso dá aproximadamente 92,0\%.

Passo 4

Ainda para x=1, a energia interna molar é
U(\theta_{E}) =3R\,\theta_{E}\;\frac{1}{e-1} =3R\,T\;\frac{1}{e-1} \quad\text{quando }T=\theta_{E}.

Passo 5

O fator de redução relativo ao valor clássico 3R\,T é
\frac{U(\theta_{E})}{3R\,T} =\frac{1}{e-1} \approx\frac{1}{1,71828} \approx0,582.
Como porcentagem, isso dá aproximadamente 58,2\%.

Resposta

(a) C_{V}(\theta_{E})\approx92{,}0\% de 3R.
(b) U(\theta_{E})\approx58{,}2\% de 3R\,T.

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