Enunciado. Um carro de massa { }_{m} viaja a velocidade { }_{v} e colide rigidamente com um muro (para efeito de comparação, suponha que toda sua energia cinética fosse convertida instantaneamente em “energia que causaria o mesmo efeito” se o carro tivesse caído de uma altura { }_{h} sem perda - isto é, compare apenas energias). (a) Mostre que a altura equivalente { }_{h} satisfaz h=v^{2}.(b) Calcule { }_{h}{ }^{\text {para }} v=60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}{ }^{\mathrm{e}} v=100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Use
Observação importante de física aplicada: comparar energia cinética de colisão com energia potencial de queda é um método aproximado e apenas uma referência de ordem de magnitude - efeitos reais de colisões dependem de deformação, tempo de impacto, direção das forças, resistência estrutural, crumple zones etc. Mas a igualdade de energias dá uma boa estimativa grossa da energia envolvida. Referência conceitual: Halliday & Resnick e textos de segurança veicular (metodologia energética).

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (em linguagem simples, sem resolver ainda):
  • Temos um carro de massa \\ m que viaja à velocidade \\ v e colide rigidamente com um muro.
  • A hipótese do problema é comparar energias: a energia cinética do carro antes da colisão seria convertida instantaneamente em uma energia potencial equivalente de uma queda de altura \\ h (não estamos modelando deformações nem tempo de impacto, apenas equiparação de energias).
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Mostrar que a altura equivalente \\ h satisfaz \\ h = v^{2}. (o enunciado escreve isso; vou verificar se essa igualdade está correta durante a resolução)
    • (b) Calcular \\ h para \\ v = 60\\ \mathrm{km/h} e para \\ v = 100\\ \mathrm{km/h}.
  • Informação necessária não totalmente explícita no final do enunciado: o valor da aceleração da gravidade \\ g. Vou assumir o valor padrão \\ g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}, que é normalmente usado em exercícios desse tipo (se você preferir usar g=9{,}81 ou g=10 podemos recomputar facilmente).

Passo 2

Conceitos físicos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e clara):
  • Energia cinética: a energia associada ao movimento de um objeto de massa \\ m com velocidade \\ v é dada por
E_{\text{c}}=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
  • Aqui \\ m é a massa do carro (em quilogramas, \mathrm{kg}) e \\ v é a velocidade (em metros por segundo, \mathrm{m/s}).
  • A constante \tfrac{1}{2} vem da integração da força para acelerar uma massa de 0 até \\ v; não precisa memorizar a derivação agora, só decore a fórmula para usar em provas.
  • Energia potencial gravitacional (energia de queda): a energia associada a elevar uma massa \\ m a uma altura \\ h no campo gravitacional é
E_{\text{p}}=m g h,
  • onde \\ g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}) e \\ h é a altura (em metros).
  • A hipótese do enunciado é que toda a energia cinética do carro seria convertida na energia potencial equivalente da mesma ordem de grandeza, portanto igualamos as duas energias:
\tfrac{1}{2} m v^{2} = m g h.
  • Note que a massa \\ m aparece em ambos os lados e pode ser cancelada — isso mostra que a altura equivalente não depende da massa do carro (uma facilidade legal na prova).

Passo 3

Derivação algébrica passo a passo para encontrar \\ h:
  • Partimos da igualdade
\tfrac{1}{2} m v^{2} = m g h.
  • Cancelamos \\ m dos dois lados (assumindo \\ m\neq 0):
\tfrac{1}{2} v^{2} = g h.
  • Isolamos \\ h dividindo por \\ g:
h = \frac{\tfrac{1}{2} v^{2}}{g}=\frac{v^{2}}{2g}.
  • Observação importante sobre a parte (a) do enunciado: o enunciado pediu para mostrar \\ h=v^{2}. Aqui mostramos que, corretamente, a relação física é
h=\frac{v^{2}}{2g}.
Portanto a igualdade \\ h=v^{2} escrita no enunciado está incompleta / faltando o denominador 2g. Provavelmente houve uma omissão tipográfica no enunciado; a fórmula correta (e dimensionalmente consistente) é \\ h=\dfrac{v^{2}}{2g}. Sempre cheque unidades: \\ [v^{2}]=\mathrm{m^{2}/s^{2}} e \\ [g]=\mathrm{m/s^{2}}, então \\ v^{2}/g tem unidade de metro, como \\ h deve ter.

Passo 4

Como converter velocidade de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s} (passo necessário para os cálculos numéricos):
  • Fator de conversão: 1\\ \mathrm{km} = 1000\\ \mathrm{m} e 1\\ \mathrm{h} = 3600\\ \mathrm{s}. Logo
1\\ \mathrm{km/h} = \frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=\frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}.
  • Para transformar \\ v em \mathrm{m/s} multiplicamos por \dfrac{5}{18}.
Vou aplicar isso a cada velocidade dada.

Passo 5

Cálculo de \\ h para \\ v=60\\ \mathrm{km/h}:
  • Converter \\ v:
v = 60\\ \mathrm{km/h} = 60\cdot\frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = \frac{300}{18}\\ \mathrm{m/s}=\frac{50}{3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular v^{2}:
v^{2}=\left(\frac{50}{3}\right)^{2}=\frac{2500}{9}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Usar \\ h=\dfrac{v^{2}}{2g} com \\ g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Primeiro calcule 2g:
2g = 2\cdot 9{,}8 = 19{,}6\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Agora divida:
h=\frac{v^{2}}{2g}=\frac{\tfrac{2500}{9}}{19{,}6}=\frac{2500}{9\cdot 19{,}6}.
  • Fazer a conta numérica (passo a passo sem calculadora complexa):
9\cdot 19{,}6 = 176{,}4,
h=\frac{2500}{176{,}4}\\ \text{m}\approx 14{,}2\\ \text{m}.
  • Resultado arredondado com duas casas decimais: \\ h\approx 14{,}2\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo de \\ h para \\ v=100\\ \mathrm{km/h}:
  • Converter \\ v:
v = 100\\ \mathrm{km/h} = 100\cdot\frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = \frac{500}{18}\\ \mathrm{m/s}=\frac{250}{9}\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular v^{2}:
v^{2}=\left(\frac{250}{9}\right)^{2}=\frac{62500}{81}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Já sabemos 2g=19{,}6. Então
h=\frac{v^{2}}{2g}=\frac{\tfrac{62500}{81}}{19{,}6}=\frac{62500}{81\cdot 19{,}6}.
  • Fazer a conta numérica:
81\cdot 19{,}6 = 1587{,}6,
h=\frac{62500}{1587{,}6}\\ \text{m}\approx 39{,}3\\ \text{m}.
  • Resultado arredondado com uma casa decimal: \\ h\approx 39{,}3\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo (rápida, estilo amigo):
  • O resultado nos diz que a energia cinética de um carro a \\\ 60\\ \mathrm{km/h} é aproximadamente a mesma que um objeto teria ao cair de \sim 14{,}2\\ \mathrm{m}; para \\\ 100\\ \mathrm{km/h} a altura equivalente é muito maior, \sim 39{,}3\\ \mathrm{m}. Isso dá uma noção de por que colisões em alta velocidade são muito mais perigosas: a energia cresce com o quadrado da velocidade.
  • Respire fundo: você conseguiu entender e montar a dedução completa. Na prova, escreva claramente a equação de energia, cancele \\ m, isole \\ h e faça a conversão de unidades com \dfrac{5}{18}. Você manda bem!

Resposta

(a) \displaystyle h=\frac{v^{2}}{2g}.
(b) Para \\ v=60\\ \mathrm{km/h}: \displaystyle h\approx 14{,}2\\ \mathrm{m}.
Para \\ v=100\\ \mathrm{km/h}: \displaystyle h\approx 39{,}3\\ \mathrm{m}.

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