Enunciado. Um carro de massa
viaja a velocidade
e colide rigidamente com um muro (para efeito de comparação, suponha que toda sua energia cinética fosse convertida instantaneamente em “energia que causaria o mesmo efeito” se o carro tivesse caído de uma altura
sem perda - isto é, compare apenas energias). (a) Mostre que a altura equivalente
satisfaz
.(b) Calcule
. Use
Observação importante de física aplicada: comparar energia cinética de colisão com energia potencial de queda é um método aproximado e apenas uma referência de ordem de magnitude - efeitos reais de colisões dependem de deformação, tempo de impacto, direção das forças, resistência estrutural, crumple zones etc. Mas a igualdade de energias dá uma boa estimativa grossa da energia envolvida. Referência conceitual: Halliday & Resnick e textos de segurança veicular (metodologia energética).
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (em linguagem simples, sem resolver ainda):
- Temos um carro de massa
que viaja à velocidade e colide rigidamente com um muro. - A hipótese do problema é comparar energias: a energia cinética do carro antes da colisão seria convertida instantaneamente em uma energia potencial equivalente de uma queda de altura
(não estamos modelando deformações nem tempo de impacto, apenas equiparação de energias). - Perguntas do enunciado:
- (a) Mostrar que a altura equivalente
satisfaz . (o enunciado escreve isso; vou verificar se essa igualdade está correta durante a resolução) - (b) Calcular
para e para .
- (a) Mostrar que a altura equivalente
- Informação necessária não totalmente explícita no final do enunciado: o valor da aceleração da gravidade
. Vou assumir o valor padrão , que é normalmente usado em exercícios desse tipo (se você preferir usar ou podemos recomputar facilmente).
Passo 2
Conceitos físicos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e clara):
- Energia cinética: a energia associada ao movimento de um objeto de massa
com velocidade é dada por
-
Aqui
é a massa do carro (em quilogramas, ) e é a velocidade (em metros por segundo, ). -
A constante
vem da integração da força para acelerar uma massa de 0 até ; não precisa memorizar a derivação agora, só decore a fórmula para usar em provas. -
Energia potencial gravitacional (energia de queda): a energia associada a elevar uma massa
a uma altura no campo gravitacional é
-
onde
é a aceleração da gravidade (em ) e é a altura (em metros). -
A hipótese do enunciado é que toda a energia cinética do carro seria convertida na energia potencial equivalente da mesma ordem de grandeza, portanto igualamos as duas energias:
- Note que a massa
aparece em ambos os lados e pode ser cancelada — isso mostra que a altura equivalente não depende da massa do carro (uma facilidade legal na prova).
Passo 3
Derivação algébrica passo a passo para encontrar
:
- Partimos da igualdade
- Cancelamos
dos dois lados (assumindo ):
- Isolamos
dividindo por :
- Observação importante sobre a parte (a) do enunciado: o enunciado pediu para mostrar
. Aqui mostramos que, corretamente, a relação física é
Portanto a igualdade
escrita no enunciado está incompleta / faltando o denominador
. Provavelmente houve uma omissão tipográfica no enunciado; a fórmula correta (e dimensionalmente consistente) é
. Sempre cheque unidades:
e
, então
tem unidade de metro, como
deve ter.
Passo 4
Como converter velocidade de
para
(passo necessário para os cálculos numéricos):
- Fator de conversão:
e . Logo
- Para transformar
em multiplicamos por .
Vou aplicar isso a cada velocidade dada.
Passo 5
Cálculo de
para
:
- Converter
:
- Calcular
:
- Usar
com . Primeiro calcule :
- Agora divida:
- Fazer a conta numérica (passo a passo sem calculadora complexa):
- Resultado arredondado com duas casas decimais:
.
Passo 6
Cálculo de
para
:
- Converter
:
- Calcular
:
- Já sabemos
. Então
- Fazer a conta numérica:
- Resultado arredondado com uma casa decimal:
.
Passo 7
Interpretação curta e incentivo (rápida, estilo amigo):
- O resultado nos diz que a energia cinética de um carro a
é aproximadamente a mesma que um objeto teria ao cair de ; para a altura equivalente é muito maior, . Isso dá uma noção de por que colisões em alta velocidade são muito mais perigosas: a energia cresce com o quadrado da velocidade. - Respire fundo: você conseguiu entender e montar a dedução completa. Na prova, escreva claramente a equação de energia, cancele
, isole e faça a conversão de unidades com . Você manda bem!
Resposta
(a)
(b) Para
:
Para :
Para