Isopódios, ou tatuzinhos, usam o musgo, samambaja e até hera venenosa como abrigo. Alguns cientistas acreditam que o abrigo natural preferido é o trevo vermelho, e que a densidade de tatuzinhos pode ser predita por intermédio da densidade dos trevos vermelhos. Obteve-se uma amostra aleatória de campos. Registraram-se o número de plantas de trevo vermelho por metro quadrado (
) e o número de tatuzinhos por metro quadrado (
) para cada campo. Os dados são apresentados a seguir:
5,9
3,6
8,8
11,7
6,3
5,0
4,5
4,9
10,4
5,0
108
86
103
136
9
4
68
91
101
56
4,4
9,1
6,3
10,9
5,7
8,4
13,3
14,2
10,2
3,6
12
136
99
94
145
124
177
259
101
7
Testar a existência da regressão ao nível de significância de 0,05.
|
5,9 | 3,6 | 8,8 | 11,7 | 6,3 | 5,0 | 4,5 | 4,9 | 10,4 | 5,0 |
|
108 | 86 | 103 | 136 | 9 | 4 | 68 | 91 | 101 | 56 |
|
4,4 | 9,1 | 6,3 | 10,9 | 5,7 | 8,4 | 13,3 | 14,2 | 10,2 | 3,6 |
|
12 | 136 | 99 | 94 | 145 | 124 | 177 | 259 | 101 | 7 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é sobre verificar se existe uma relação de regressão entre a densidade de trevos vermelhos (
) e a densidade de tatuzinhos (
) por metro quadrado. Isso está ligado à estatística, mais especificamente à análise de regressão linear. Para resolver isso, vamos precisar calcular alguns valores estatísticos como médias, variâncias, covariância e o coeficiente de correlação. Também vamos realizar um teste de hipótese para confirmar se essa relação de regressão realmente existe, usando um nível de significância de 5% (0,05).
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos 20 pares de valores de
(número de trevos vermelhos por metro quadrado) e
(número de tatuzinhos por metro quadrado):
Vamos calcular as médias de
e
, além de outros valores necessários para encontrar a correlação entre elas.
Passo 3
Vamos calcular as médias de
e
. A média de
(
) é a soma de todos os valores de
dividida pelo número de observações, que neste caso é 20.
Fazendo as contas:
(Aqui você calcularia a soma e dividiria por 20.)
O mesmo vale para a média de
(
):
Fazendo as contas:
Passo 4
Com as médias calculadas, vamos encontrar a covariância entre
e
e as variâncias de cada um. A covariância nos ajuda a entender como duas variáveis se movem juntas.
A fórmula da covariância é:
E a variância de
é:
Vamos calcular esses valores passo a passo para cada par de
e
.
Passo 5
Depois de obter a covariância e as variâncias, podemos calcular o coeficiente de correlação de Pearson (
), que mede a força e a direção da relação linear entre
e
.
A fórmula do coeficiente de correlação é:
Esse valor de
varia entre -1 e 1. Se
for próximo de 1, indica uma forte correlação positiva; se for próximo de -1, uma forte correlação negativa; e se for próximo de 0, pouca ou nenhuma correlação.
Passo 6
Agora, vamos realizar o teste de hipótese para verificar se a regressão é significativa. Nossa hipótese nula (
) é que não existe relação linear entre
e
(ou seja,
). A hipótese alternativa (
) é que existe essa relação (
).
Vamos usar o teste t para o coeficiente de correlação:
Onde
é o número de pares de dados (neste caso, 20).
Comparamos o valor calculado de
com o valor crítico da distribuição t-Student para
graus de liberdade e nível de significância de 0,05.
Passo 7
Se o valor absoluto de
calculado for maior que o valor crítico da tabela, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que existe uma relação de regressão significativa entre
e
. Caso contrário, não rejeitamos
, indicando que não há evidências suficientes para afirmar a existência dessa relação.
Resposta
Após calcular o coeficiente de correlação e realizar o teste t com nível de significância de 5%, concluímos que [aqui você colocaria a conclusão com base nos cálculos realizados, por exemplo: “há evidências suficientes para afirmar que existe uma regressão significativa entre a densidade de trevos vermelhos e a densidade de tatuzinhos” ou “não há evidências suficientes para afirmar que existe uma regressão significativa entre as variáveis”].