Um mini-mercado pretende estimar o número médio de litros de água que vende diariamente (fenómeno com comportamento normal), para efeitos de controlo de encomendas a fornecedores. Ao fim de 20 dias de negócio, verificou que em média vendia 32 litros de água/dia, sendo o desvio padrão desta amostra igual a 12 litros. Admitindo a normalidade, calcule os limites de cọnfiança para um grau de confiança de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que um mini-mercado quer saber, com certa confiança, qual é a média diária de litros de água que vende. Eles observaram 20 dias, com uma média de 32 litros por dia e um desvio padrão de 12 litros. Nosso objetivo é calcular os limites de confiança para 95% e 99%.
Vamos precisar usar conceitos de estatística inferencial, especificamente intervalos de confiança para a média de uma população quando a distribuição é normal. Como temos uma amostra pequena (20 dias) e o desvio padrão da amostra, vamos utilizar a distribuição t de Student.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. É uma faixa de valores que provavelmente contém a média verdadeira da população. Aqui, queremos ter 95% e 99% de certeza de que nosso intervalo contém a verdadeira média de litros vendidos diariamente.
A fórmula para o intervalo de confiança usando a distribuição t é:
Onde:
-
é a média da amostra -
é o valor crítico da distribuição t -
é o desvio padrão da amostra -
é o tamanho da amostra
Passo 3
Vamos calcular o erro padrão da média, que é
.
Temos:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores críticos
para 95% e 99% de confiança com
graus de liberdade.
Usando uma tabela t ou uma calculadora:
- Para 95% de confiança,
- Para 99% de confiança,
Passo 5
Vamos calcular os intervalos de confiança.
Para 95% de confiança:
Calculando a margem de erro:
Então:
Para 99% de confiança:
Calculando a margem de erro:
Então:
Resposta
Os limites de confiança para a média diária de litros de água vendidos são:
- 95% de confiança: entre aproximadamente 26,38 e 37,62 litros por dia.
- 99% de confiança: entre aproximadamente 24,32 e 39,68 litros por dia.