Um mini-mercado pretende estimar o número médio de litros de água que vende diariamente (fenómeno com comportamento normal), para efeitos de controlo de encomendas a fornecedores. Ao fim de 20 dias de negócio, verificou que em média vendia 32 litros de água/dia, sendo o desvio padrão desta amostra igual a 12 litros. Admitindo a normalidade, calcule os limites de cọnfiança para um grau de confiança de 95 % e 99 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que um mini-mercado quer saber, com certa confiança, qual é a média diária de litros de água que vende. Eles observaram 20 dias, com uma média de 32 litros por dia e um desvio padrão de 12 litros. Nosso objetivo é calcular os limites de confiança para 95% e 99%.
Vamos precisar usar conceitos de estatística inferencial, especificamente intervalos de confiança para a média de uma população quando a distribuição é normal. Como temos uma amostra pequena (20 dias) e o desvio padrão da amostra, vamos utilizar a distribuição t de Student.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. É uma faixa de valores que provavelmente contém a média verdadeira da população. Aqui, queremos ter 95% e 99% de certeza de que nosso intervalo contém a verdadeira média de litros vendidos diariamente.
A fórmula para o intervalo de confiança usando a distribuição t é:
IC = barx pm talpha/2 cdot ( sraizn )
Onde:
  • barx é a média da amostra
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t
  • s é o desvio padrão da amostra
  • n é o tamanho da amostra

Passo 3

Vamos calcular o erro padrão da média, que é sraizn.
Temos:
  • s = 12
  • n = 20
Então:
Erro Padrão = 12raiz20 approx 124,472 approx 2,683 ã

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores críticos talpha/2 para 95% e 99% de confiança com n-1 = 19 graus de liberdade.
Usando uma tabela t ou uma calculadora:
  • Para 95% de confiança, t0,025 approx 2,093
  • Para 99% de confiança, t0,005 approx 2,861

Passo 5

Vamos calcular os intervalos de confiança.
Para 95% de confiança:
IC95% = 32 pm 2,093 cdot 2,683
Calculando a margem de erro:
2,093 cdot 2,683 approx 5,621
Então:
IC95% = 32 pm 5,621 Rightarrow [26,379; 37,621]
Para 99% de confiança:
IC99% = 32 pm 2,861 cdot 2,683
Calculando a margem de erro:
2,861 cdot 2,683 approx 7,679
Então:
IC99% = 32 pm 7,679 Rightarrow [24,321; 39,679]

Resposta

Os limites de confiança para a média diária de litros de água vendidos são:
  • 95% de confiança: entre aproximadamente 26,38 e 37,62 litros por dia.
  • 99% de confiança: entre aproximadamente 24,32 e 39,68 litros por dia.

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