Uma régua oscila em torno de uma das suas extremidades com uma frequência
. Se cortarmos a metade inferior da régua, qual será a nova freqüência de oscilação em termos de
?
Passo 1
O enunciado dá que uma régua (vara rígida e uniforme) oscila em pequenas oscilações em torno de uma de suas extremidades com frequência
. Em seguida cortamos a metade inferior da régua (ou seja, a régua passa a ter metade do comprimento original). A pergunta é: qual é a nova frequência de oscilação em termos de
?
Informações relevantes dadas:
- Frequência inicial:
. - A régua é homogênea (mesma densidade linear) e oscila em pequenas amplitudes.
- Após cortar, o novo comprimento é a metade do comprimento original.
O que devemos fornecer: a nova frequência (chamar de
) expressa em função de
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula do pêndulo físico para pequenas oscilações. Para um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo, a equação de movimento rotacional linearizada é obtida assim:
O torque gravitacional em torno do pivô vale
, onde:
-
é a massa do corpo, -
é a aceleração da gravidade, -
é a distância do pivô ao centro de massa, -
é o ângulo de deslocamento.
Para pequenas oscilações usamos
, então
.
A equação rotacional é
, onde
é o momento de inércia em relação ao pivô. Substituindo:
Isso é uma equação harmônica simples
portanto a frequência angular é
A frequência linear (ciclos por segundo) é
. Aqui:
-
é a frequência angular, -
é a frequência em Hz.
Passo 3
Agora aplicamos ao caso da régua inteira (comprimento
). Para uma régua uniforme de comprimento
pivotada numa extremidade:
- a distância do pivô ao centro de massa é
, - o momento de inércia em relação à extremidade é
.
Substituindo na fórmula de
:
Simplificando (note que a massa
cancela):
Logo a frequência inicial é
Passo 4
Agora consideramos a régua cortada ao meio: o novo comprimento é
. A nova massa é
(mesma densidade linear). Para essa meia-régua:
- o novo centro de massa está a
do pivô, - o momento de inércia em relação à extremidade é
Calcule
:
Passo 5
Calcule a nova frequência angular
usando
:
Simplificando (novamente
cancela):
Então
A nova frequência em Hz é
.
Passo 6
Comparando
com
, vemos que
Logo
. Como
, a mesma relação vale para as frequências em Hz: