Uma régua oscila em torno de uma das suas extremidades com uma frequência \nu_{0}. Se cortarmos a metade inferior da régua, qual será a nova freqüência de oscilação em termos de \nu_{0} ?

Passo 1

O enunciado dá que uma régua (vara rígida e uniforme) oscila em pequenas oscilações em torno de uma de suas extremidades com frequência \nu_{0}. Em seguida cortamos a metade inferior da régua (ou seja, a régua passa a ter metade do comprimento original). A pergunta é: qual é a nova frequência de oscilação em termos de \nu_{0}?
Informações relevantes dadas:
  • Frequência inicial: \nu_{0}.
  • A régua é homogênea (mesma densidade linear) e oscila em pequenas amplitudes.
  • Após cortar, o novo comprimento é a metade do comprimento original.
O que devemos fornecer: a nova frequência (chamar de \nu') expressa em função de \nu_{0}.

Passo 2

Vamos usar a fórmula do pêndulo físico para pequenas oscilações. Para um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo, a equação de movimento rotacional linearizada é obtida assim:
O torque gravitacional em torno do pivô vale \tau = -mgd\sin\theta, onde:
  • m é a massa do corpo,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • d é a distância do pivô ao centro de massa,
  • \theta é o ângulo de deslocamento.
Para pequenas oscilações usamos \sin\theta\approx\theta, então \tau\approx -mgd\,\theta.
A equação rotacional é I\,\ddot\theta=\tau, onde I é o momento de inércia em relação ao pivô. Substituindo:
I\,\ddot\theta = -mgd\,\theta.
Isso é uma equação harmônica simples
\ddot\theta + \frac{mgd}{I}\,\theta = 0,
portanto a frequência angular é
\omega^{2}=\frac{mgd}{I}.
A frequência linear (ciclos por segundo) é \nu=\dfrac{\omega}{2\pi}. Aqui:
  • \omega é a frequência angular,
  • \nu é a frequência em Hz.

Passo 3

Agora aplicamos ao caso da régua inteira (comprimento L). Para uma régua uniforme de comprimento L pivotada numa extremidade:
  • a distância do pivô ao centro de massa é d=\dfrac{L}{2},
  • o momento de inércia em relação à extremidade é I=\dfrac{1}{3}mL^{2}.
Substituindo na fórmula de \omega^{2}:
\omega_{0}^{2}=\frac{m g \cdot \dfrac{L}{2}}{\dfrac{1}{3}mL^{2}}.
Simplificando (note que a massa m cancela):
\omega_{0}^{2} = \frac{g\,L/2}{(1/3)L^{2}} = \frac{g}{L}\cdot\frac{1/2}{1/3} = \frac{3g}{2L}.
Logo a frequência inicial é
\nu_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3g}{2L}}.

Passo 4

Agora consideramos a régua cortada ao meio: o novo comprimento é L'=\dfrac{L}{2}. A nova massa é m'=\dfrac{m}{2} (mesma densidade linear). Para essa meia-régua:
  • o novo centro de massa está a d'=\dfrac{L'}{2}=\dfrac{L}{4} do pivô,
  • o momento de inércia em relação à extremidade é
I'=\frac{1}{3}m'(L')^{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{m}{2}\cdot\left(\frac{L}{2}\right)^{2}.
Calcule I':
I'=\frac{1}{3}\cdot\frac{m}{2}\cdot\frac{L^{2}}{4}=\frac{1}{24}mL^{2}.

Passo 5

Calcule a nova frequência angular \omega' usando \omega'^{2}=\dfrac{m' g d'}{I'}:
\omega'^{2}=\frac{\left(\dfrac{m}{2}\right) g \left(\dfrac{L}{4}\right)}{\dfrac{1}{24}mL^{2}}.
Simplificando (novamente m cancela):
\omega'^{2}=\frac{(m g L)/(8)}{(mL^{2})/24}=\frac{1}{8}\cdot\frac{24}{1}\cdot\frac{g}{L}=3\cdot\frac{g}{L}=\frac{3g}{L}.
Então
\omega'=\sqrt{\frac{3g}{L}}.
A nova frequência em Hz é \nu'=\dfrac{\omega'}{2\pi}.

Passo 6

Comparando \omega'^{2}=\dfrac{3g}{L} com \omega_{0}^{2}=\dfrac{3g}{2L}, vemos que
\frac{\omega'^{2}}{\omega_{0}^{2}}=\frac{\dfrac{3g}{L}}{\dfrac{3g}{2L}}=2.
Logo \omega'=\sqrt{2}\,\omega_{0}. Como \nu=\omega/(2\pi), a mesma relação vale para as frequências em Hz:
\nu'=\sqrt{2}\,\nu_{0}.

Resposta

\sqrt{2}\,\nu_{0}

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