(ITA - 1987). Considere a função y=f(x) definida por f(x)=x^3-2 x^2+5 x para cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira?
(a) y=f(x) é uma função par.
(b) y=f(x) é uma função ímpar.
© f(x) >= 0 para todo real x.
(d) f(x) <= 0 para todo real x.
(e) f(x) tem o mesmo sinal de x, para todo real x neq 0.
circ A
B
C

E

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^3-2x^2+5x e pede para identificar se ela é par, ímpar, se é sempre não-negativa, sempre não-positiva ou se tem o mesmo sinal de x para xne0. Vamos usar conceitos de paridade de funções e análise de sinal por fatoração.

Passo 2

Para verificar se f é par ou ímpar, comparamos f(-x) com f(x) e -f(x). Calculando:
f(-x)=(-x)^3-2(-x)^2+5(-x)=-x^3-2x^2-5x

Passo 3

Observe que f(-x) não é igual a f(x) nem a -f(x), então f não é par nem ímpar.

Passo 4

Para estudar o sinal de f(x), fatoramos a expressão:
f(x)=x^3-2x^2+5x=x(x^2-2x+5)=xl((x-1)^2+4r)

Passo 5

Como (x-1)^2+4 é sempre positivo para todo xinR, o sinal de f(x) é o mesmo sinal de x.

Resposta

(e)

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