Sendo h a maior raiz da equação x^2+x-1=0. Então qual o valor de h^51-h+2 h^6(1-h)^2 ?
(a) 1
(b) 2
© 3
(d) 4
(e) 5 .

B
○ C
○D
E

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação quadrática x² + x – 1 = 0, cuja maior raiz chamamos de h, e precisamos calcular h^51 - h + 2h^6(1 - h)^2. O conteúdo envolvido é manipulação de radicais e uso da relação do polinômio para simplificar potências de h.

Passo 2

Como h satisfaz h^2 + h - 1 = 0, podemos isolar h^2. Isso nos dá: h^2 = 1 - h Essa relação é a chave para expressar potências maiores de h em função de h e constantes.

Passo 3

Para encontrar potências mais altas de h, usamos recursão: primeiro, h^3 = h cdot h^2 = h(1 - h) = h - h^2 = h - (1 - h) = 2h - 1
Em seguida, h^4 = h cdot h^3 = h(2h - 1) = 2h^2 - h = 2(1 - h) - h = 2 - 3h, h^5 = h cdot h^4 = h(2 - 3h) = 2h - 3h^2 = 2h - 3(1 - h) = 5h - 3, h^6 = h cdot h^5 = h(5h - 3) = 5h^2 - 3h = 5(1 - h) - 3h = 5 - 8h

Passo 4

Agora, note que 1 - h = h^2 e (1 - h)^2 = h^4. Logo a expressão fica:
h^51 - h + 2h^6(1 - h)^2 = h^5h^2 + 2h^6h^4 = h^3 + 2h^2

Passo 5

Basta então usar h^3 = 2h - 1 e h^2 = 1 - h:
h^3 + 2h^2 = (2h - 1) + 2(1 - h) = 2h - 1 + 2 - 2h = 1

Resposta

1

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