(Q2-ITA/1995) Seja a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\left\{\begin{array}{l}a\left(x+\frac{\pi}{2}\right) \text { se } x<\frac{\pi}{2} \\\ \frac{\pi}{2}-\frac{a}{x} \text { sen } x \text { se } x \geq \frac{\pi}{2}\end{array}\right..
Onde a>0 é uma constante. Considere K=\{y \in \mathbb{R}; \mathrm{f}(\mathrm{y})=0\}.
Qual o valor de \mathbf{a}, sabendo-se que \mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}\right) \in \mathrm{K} ?
a) \frac{\pi}{4}
b) \frac{\pi}{2}
c) \pi
d) \frac{\pi^{2}}{2}

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • A função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) é definida por \[f(x)=\begin{cases} a\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right), & \text{se } x<\dfrac{\pi}{2},\\[6pt] \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{a}{x}\sin x, & \text{se } x\ge\dfrac{\pi}{2}, \end{cases}
onde a>0\] é uma constante. (Observe que usei a notação \(\sin x para o \text{sen } x do enunciado.)
  • O conjunto K é dado por
K=\{y\in\mathbb{R}\mid f(y)=0\},
ou seja, K é o conjunto das raízes de f.
  • A condição do problema: sabe-se que f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\in K. Ou seja, o valor f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) pertence ao conjunto das raízes de f.
O que o enunciado pede: determinar o valor de a>0 que satisfaz a condição acima.]

Passo 2

Interpretar a condição f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\in K. Pelo que definimos em K, isso significa que, colocando y=f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right),
f\bigl(f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\bigr)=0.
Em outras palavras, se chamarmos t=f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right), então f(t)=0. Portanto devemos:
  1. calcular t=f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right);
  2. exigir que f(t)=0 e resolver essa equação para a.

Passo 3

Calcular t=f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right).
Como x=\dfrac{\pi}{2} pertence ao caso x\ge\dfrac{\pi}{2}, usamos a segunda expressão:
t=f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{a}{\,\tfrac{\pi}{2}\,}\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right).
Sabemos que \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1. Substituindo,
t=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{a}{\tfrac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2a}{\pi}.

Passo 4

Decidir qual ramo da função usar para calcular f(t).
Temos t=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2a}{\pi}. Como a>0, o termo \dfrac{2a}{\pi} é positivo, logo
t=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2a}{\pi}<\dfrac{\pi}{2}.
Portanto t<\dfrac{\pi}{2} e, ao calcular f(t), devemos usar o ramo para x<\dfrac{\pi}{2}, ou seja
f(t)=a\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right).
(Observação didática: sempre que for avaliar f em um ponto, primeiro verifique em qual intervalo desse ponto cai para escolher corretamente o ramo da definição por partes.)

Passo 5

Impor f(t)=0 e resolver para a.
Usando o ramo adequado:
f(t)=a\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)=0.
Como a>0, podemos dividir por a e obter
t+\dfrac{\pi}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad t=-\dfrac{\pi}{2}.
Mas já temos t em função de a: t=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2a}{\pi}. Igualando:
\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2a}{\pi}=-\dfrac{\pi}{2}.
Agora resolvemos para a. Somando \dfrac{\pi}{2} aos dois lados,
\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2a}{\pi},
ou seja
\pi=\dfrac{2a}{\pi}.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{\pi}{2},
a=\dfrac{\pi^{2}}{2}.

Passo 6

Verificação rápida e comentário final: com a=\dfrac{\pi^{2}}{2} temos
t=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2a}{\pi}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\cdot(\pi^{2}/2)}{\pi}=\dfrac{\pi}{2}-\pi=-\dfrac{\pi}{2},
que é realmente <\dfrac{\pi}{2}, então usamos corretamente o primeiro ramo para f(t), e
f(t)=a\Bigl(-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\Bigr)=0.
Além disso a>0 é satisfeito por a=\dfrac{\pi^{2}}{2}. Tudo consistente.

Resposta

d) \dfrac{\pi^{2}}{2}

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