- (Q22-ITA/1996) Considere as funções reais f e g definidas por:
e
,
. O maior subconjunto de
onde pode ser definida a composta fog , tal que
, é:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções reais e pede o maior subconjunto de
onde a composta
está definida e satisfaz
.
Informações dadas:
O que o enunciado pede:
- Determinar o maior subconjunto de
em que a composta é definida e, além disso, vale .
Passo 2
Para a composta
estar definida é preciso:
-
estar no domínio de , isto é . -
estar no domínio de , isto é (porque não está definida em ).
Vou encontrar os
que tornam
ou
, porque esses valores devem ser excluídos.
Resolver
:
Resolver
:
Portanto os pontos a excluir da consideração são
.
Passo 3
Agora calculo explicitamente
.
Primeiro escrevo
. Substituo em
:
Calculo numeradores e denominadores em termos de
:
Portanto
Multiplico e fatoro onde for conveniente:
Também note que o numerador se fatora:
Assim uma forma mais explícita é
Passo 4
Relembre as restrições já encontradas para que a composta exista:
-
(domínio de ); -
e (pois aí e não está definida).
Note que esses três pontos também aparecem como zeros ou polos da expressão fatorada:
- Numerador zeros em
e . - Denominador zeros em
e .
Passo 5
Queremos resolver a desigualdade
com
.
Os pontos críticos (onde o numerador ou denominador se anulam) são, em ordem crescente:
Esses pontos dividem a reta em intervalos em cada um dos quais a expressão tem sinal constante. Vou testar o sinal da expressão em cada intervalo.
Passo 6
Regra prática: o sinal da fração é o produto dos sinais dos quatro fatores
, lembrando que fatores do denominador alteram o sinal quando são negativos. Vou avaliar cada fator em um ponto de cada intervalo (escolhendo números fáceis).
- Intervalo
. Teste :
-
(negativo). -
(negativo). -
(negativo). -
(negativo).
Produto no numerador: neg·neg = positivo. Produto no denominador: neg·neg = positivo. Razão: positivo/positivo = positivo.
Conclusão: em
a expressão é positiva.
- Intervalo
. Teste :
-
(negativo). -
(negativo). -
(positivo). -
(negativo).
Numerador: neg·neg = positivo. Denominador: pos·neg = negativo. Razão: positivo/negativo = negativo.
Conclusão: em
a expressão é negativa.
- Intervalo
. Teste :
-
(positivo). -
(negativo). -
(positivo). -
(negativo).
Numerador: pos·neg = negativo. Denominador: pos·neg = negativo. Razão: negativo/negativo = positivo.
Conclusão: em
a expressão é positiva.
- Intervalo
. Teste :
-
(positivo). -
(negativo). -
(positivo). -
(positivo).
Numerador: pos·neg = negativo. Denominador: pos·pos = positivo. Razão: negativo/positivo = negativo.
Conclusão: em
a expressão é negativa.
- Intervalo
. Teste :
- Todos os fatores
são positivos, logo a razão é positiva.
Conclusão: em
a expressão é positiva.
Passo 7
Agora, juntando os intervalos onde a expressão é negativa:
- obtivemos negatividade em
e em .
Precisamos checar endpoints e exclusões:
-
e são excluídos porque e então não está definida. -
é excluído porque não está definida ali. -
zera o numerador (leva a ) e a desigualdade pede estritamente , então também não entra.
Portanto nos dois intervalos devemos manter abertos os extremos como já indicado.
Passo 8
Concluindo, o maior subconjunto de
onde
está definida e vale
é
Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
(a)