1. (Q22-ITA/1996) Considere as funções reais f e g definidas por:
    \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1+2 \mathrm{x}}{1-\mathrm{x}^{2}}, \mathrm{x} \in \mathrm{R}-\{-1,1\} e \mathrm{g}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}}{1+2 \mathrm{x}},
    x \in R-\{-1 / 2\}. O maior subconjunto de R onde pode ser definida a composta fog , tal que (\mathrm{fog})(\mathrm{x})<0, é:
    a) ]-1,-1 / 2[\cup]-1 / 3,-1 / 4[
    b) ]-\infty,-1[\cup]-1 / 3,-1 / 4[
    c) ]-\infty,-1[\cup]-1 / 2,1[
    d) ] 1, \infty[

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções reais e pede o maior subconjunto de \mathbb{R} onde a composta (f\circ g)(x) está definida e satisfaz (f\circ g)(x) < 0.
Informações dadas:
  • f(x)=\dfrac{1+2x}{1-x^{2}},\; x\in \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.
  • g(x)=\dfrac{x}{1+2x},\; x\in \mathbb{R}\setminus\{-\tfrac{1}{2}\}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o maior subconjunto de \mathbb{R} em que a composta (f\circ g)(x)=f(g(x)) é definida e, além disso, vale (f\circ g)(x)<0.

Passo 2

Para a composta f(g(x)) estar definida é preciso:
  1. x estar no domínio de g, isto é x\neq -\tfrac{1}{2}.
  2. g(x) estar no domínio de f, isto é g(x)\neq \pm 1 (porque f não está definida em x=\pm1).
Vou encontrar os x que tornam g(x)=1 ou g(x)=-1, porque esses valores devem ser excluídos.
Resolver g(x)=1:
\frac{x}{1+2x}=1 \quad\Rightarrow\quad x=1+2x \quad\Rightarrow\quad x=-1.
Resolver g(x)=-1:
\frac{x}{1+2x}=-1 \quad\Rightarrow\quad x=-1-2x \quad\Rightarrow\quad 3x=-1 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{3}.
Portanto os pontos a excluir da consideração são x=-\tfrac{1}{2},\; x=-1,\; x=-\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Agora calculo explicitamente (f\circ g)(x)=f(g(x)).
Primeiro escrevo g(x)=\dfrac{x}{1+2x}. Substituo em f:
(f\circ g)(x)=\frac{1+2g(x)}{1-(g(x))^{2}}.
Calculo numeradores e denominadores em termos de x:
1+2g(x)=1+2\cdot\frac{x}{1+2x}=\frac{1+4x}{1+2x}.
1-(g(x))^{2}=1-\left(\frac{x}{1+2x}\right)^{2}=\frac{(1+2x)^{2}-x^{2}}{(1+2x)^{2}}=\frac{1+4x+3x^{2}}{(1+2x)^{2}}.
Portanto
(f\circ g)(x)=\frac{\dfrac{1+4x}{1+2x}}{\dfrac{1+4x+3x^{2}}{(1+2x)^{2}}} =\frac{1+4x}{1+2x}\cdot\frac{(1+2x)^{2}}{1+4x+3x^{2}} =\frac{(1+4x)(1+2x)}{1+4x+3x^{2}}.
Multiplico e fatoro onde for conveniente:
(1+4x)(1+2x)=1+6x+8x^{2},\qquad 1+4x+3x^{2}=(1+x)(1+3x).
Também note que o numerador se fatora:
1+6x+8x^{2}=(1+2x)(1+4x).
Assim uma forma mais explícita é
(f\circ g)(x)=\frac{(1+2x)(1+4x)}{(1+x)(1+3x)}.

Passo 4

Relembre as restrições já encontradas para que a composta exista:
  • x\neq -\tfrac{1}{2} (domínio de g);
  • x\neq -1 e x\neq -\tfrac{1}{3} (pois aí g(x)=\pm1 e f não está definida).
Note que esses três pontos também aparecem como zeros ou polos da expressão fatorada:
  • Numerador zeros em x=-\tfrac{1}{2} e x=-\tfrac{1}{4}.
  • Denominador zeros em x=-1 e x=-\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Queremos resolver a desigualdade
\frac{(1+2x)(1+4x)}{(1+x)(1+3x)}<0,
com x\neq -1,\; x\neq -\tfrac{1}{2},\; x\neq -\tfrac{1}{3}.
Os pontos críticos (onde o numerador ou denominador se anulam) são, em ordem crescente:
-\infty,\; -1,\; -\tfrac{1}{2},\; -\tfrac{1}{3},\; -\tfrac{1}{4},\; +\infty.
Esses pontos dividem a reta em intervalos em cada um dos quais a expressão tem sinal constante. Vou testar o sinal da expressão em cada intervalo.

Passo 6

Regra prática: o sinal da fração é o produto dos sinais dos quatro fatores (1+2x),(1+4x),(1+x),(1+3x), lembrando que fatores do denominador alteram o sinal quando são negativos. Vou avaliar cada fator em um ponto de cada intervalo (escolhendo números fáceis).
  1. Intervalo (-\infty,-1). Teste x=-2:
  • 1+2x=1-4=-3 (negativo).
  • 1+4x=1-8=-7 (negativo).
  • 1+x=1-2=-1 (negativo).
  • 1+3x=1-6=-5 (negativo).
    Produto no numerador: neg·neg = positivo. Produto no denominador: neg·neg = positivo. Razão: positivo/positivo = positivo.
Conclusão: em (-\infty,-1) a expressão é positiva.
  1. Intervalo (-1,-\tfrac{1}{2}). Teste x=-\tfrac{3}{4}=-0,75:
  • 1+2x=1-1,5=-0,5 (negativo).
  • 1+4x=1-3=-2 (negativo).
  • 1+x=1-0,75=0,25 (positivo).
  • 1+3x=1-2,25=-1,25 (negativo).
    Numerador: neg·neg = positivo. Denominador: pos·neg = negativo. Razão: positivo/negativo = negativo.
Conclusão: em (-1,-\tfrac{1}{2}) a expressão é negativa.
  1. Intervalo (-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{3}). Teste x=-0,4:
  • 1+2x=1-0,8=0,2 (positivo).
  • 1+4x=1-1,6=-0,6 (negativo).
  • 1+x=1-0,4=0,6 (positivo).
  • 1+3x=1-1,2=-0,2 (negativo).
    Numerador: pos·neg = negativo. Denominador: pos·neg = negativo. Razão: negativo/negativo = positivo.
Conclusão: em (-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{3}) a expressão é positiva.
  1. Intervalo (-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{4}). Teste x=-0,3:
  • 1+2x=1-0,6=0,4 (positivo).
  • 1+4x=1-1,2=-0,2 (negativo).
  • 1+x=1-0,3=0,7 (positivo).
  • 1+3x=1-0,9=0,1 (positivo).
    Numerador: pos·neg = negativo. Denominador: pos·pos = positivo. Razão: negativo/positivo = negativo.
Conclusão: em (-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{4}) a expressão é negativa.
  1. Intervalo (-\tfrac{1}{4},\infty). Teste x=0:
  • Todos os fatores 1+2x,1+4x,1+x,1+3x são positivos, logo a razão é positiva.
Conclusão: em (-\tfrac{1}{4},\infty) a expressão é positiva.

Passo 7

Agora, juntando os intervalos onde a expressão é negativa:
  • obtivemos negatividade em (-1,-\tfrac{1}{2}) e em (-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{4}).
Precisamos checar endpoints e exclusões:
  • x=-1 e x=-\tfrac{1}{3} são excluídos porque g(x)=\pm1 e então f(g(x)) não está definida.
  • x=-\tfrac{1}{2} é excluído porque g não está definida ali.
  • x=-\tfrac{1}{4} zera o numerador (leva a (f\circ g)(x)=0) e a desigualdade pede estritamente <0, então x=-\tfrac{1}{4} também não entra.
    Portanto nos dois intervalos devemos manter abertos os extremos como já indicado.

Passo 8

Concluindo, o maior subconjunto de \mathbb{R} onde (f\circ g)(x) está definida e vale (f\circ g)(x)<0 é
\left(-1,-\tfrac{1}{2}\right)\cup\left(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{4}\right).
Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a)

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