(Q7-ITA/1993) Seja
uma função não nula, impar e periódica de período
. Considere as seguintes afirmações.
I.
;
II.
;
III.
;
IV.
.
Podemos concluir que:
a) I e II são falsas.
b) I e III são falsas.
c) II e III são falsas.
d) I e IV são falsas.
e) II e IV são falsas.
I.
II.
III.
IV.
a) I e II são falsas.
b) I e III são falsas.
c) II e III são falsas.
d) I e IV são falsas.
e) II e IV são falsas.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A função
é não nula (isto é, não é a função identicamente zero). - A função
é ímpar, isto é,
- A função
é periódica de período , isto é,
O enunciado apresenta quatro afirmações que devemos avaliar como verdadeiras ou falsas:
I. ;
II. ;
III. ;
IV. .
I.
II.
III.
IV.
A tarefa é determinar quais dessas afirmações são falsas.
Passo 2
Primeiro, uma consequência imediata da paridade ímpar: usar
em
.
Somando
dos dois lados:
Portanto, qualquer função ímpar satisfaz
. Anotar isso é importante para analisar a afirmação I.
Passo 3
Agora, usar a periodicidade para relacionar
com
. A periodicidade diz
para todo
. Tomando
:
Como no Passo 2 vimos que
, segue que
Logo a afirmação I, que dizia
, é falsa.
Passo 4
Verificar a afirmação II:
para todo
.
Parto da paridade ímpar:
Parto da paridade ímpar:
Pela periodicidade
. Substituindo esse último na igualdade anterior:
Assim obtemos
Portanto a afirmação II é verdadeira.
Passo 5
Verificar a afirmação III:
para todo
.
Usar a periodicidade para reescrever
. A periodicidade
vale para todo
. Tomando
obtemos
Logo
. Substituindo isso em III, a afirmação III equivale a
Mas como
é ímpar sabemos que
. Se fosse verdade que
para todo
, então juntaríamos as duas igualdades para obter
ou seja,
seria a função identicamente zero. Isso contradiz a hipótese de que
é não nula. Portanto a afirmação III é falsa.
Passo 6
Verificar a afirmação IV:
para todo
.
Esta é apenas uma reescrita da propriedade de função ímpar
. Tomando a igualdade
e multiplicando ambos os lados por
obtemos
que reescrito dá exatamente
Portanto a afirmação IV é verdadeira (é equivalente à definição de ímpar).
Passo 7
Resumindo os resultados:
- I é falsa (porque
); - II é verdadeira;
- III é falsa (porque levaria
, contradizendo “não nula”); - IV é verdadeira.
Logo as afirmações falsas são I e III.
Resposta
b)
e
são falsas.