(Q7-ITA/1993) Seja \mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} uma função não nula, impar e periódica de período \mathbf{p}. Considere as seguintes afirmações.
I. \mathrm{f}(\mathrm{p}) \neq 0;
II. \mathrm{f}(-\mathrm{x})=-\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{p}), \forall \mathrm{x} \in \mathbb{R};
III. \mathrm{f}(-\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x}-\mathrm{p}), \forall \mathrm{x} \in \mathbb{R};
IV. \mathrm{f}(\mathrm{x})=-\mathrm{f}(-\mathrm{x}), \forall \mathrm{x} \in \mathbb{R}.
Podemos concluir que:
a) I e II são falsas.
b) I e III são falsas.
c) II e III são falsas.
d) I e IV são falsas.
e) II e IV são falsas.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é não nula (isto é, não é a função identicamente zero).
  • A função f é ímpar, isto é,
f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in\mathbb{R}.
  • A função f é periódica de período p, isto é,
f(x+p)=f(x),\quad \forall x\in\mathbb{R}.
O enunciado apresenta quatro afirmações que devemos avaliar como verdadeiras ou falsas:
I. f(p)\neq0;
II. f(-x)=-f(x+p),\\ \forall x\in\mathbb{R};
III. f(-x)=f(x-p),\\ \forall x\in\mathbb{R};
IV. f(x)=-f(-x),\\ \forall x\in\mathbb{R}.
A tarefa é determinar quais dessas afirmações são falsas.

Passo 2

Primeiro, uma consequência imediata da paridade ímpar: usar x=0 em f(-x)=-f(x).
\text{Tomando }x=0\text{, temos }f(0)= -f(0).
Somando f(0) dos dois lados:
2f(0)=0 \quad\Rightarrow\quad f(0)=0.
Portanto, qualquer função ímpar satisfaz f(0)=0. Anotar isso é importante para analisar a afirmação I.

Passo 3

Agora, usar a periodicidade para relacionar f(p) com f(0). A periodicidade diz f(x+p)=f(x) para todo x. Tomando x=0:
f(0+p)=f(0)\quad\Rightarrow\quad f(p)=f(0).
Como no Passo 2 vimos que f(0)=0, segue que
f(p)=0.
Logo a afirmação I, que dizia f(p)\neq0, é falsa.

Passo 4

Verificar a afirmação II: f(-x)=-f(x+p) para todo x.
Parto da paridade ímpar:
f(-x)=-f(x).
Pela periodicidade f(x+p)=f(x). Substituindo esse último na igualdade anterior:
-f(x) = -f(x+p).
Assim obtemos
f(-x) = -f(x+p),\quad \forall x\in\mathbb{R}.
Portanto a afirmação II é verdadeira.

Passo 5

Verificar a afirmação III: f(-x)=f(x-p) para todo x.
Usar a periodicidade para reescrever f(x-p). A periodicidade f(t+p)=f(t) vale para todo t. Tomando t=x-p obtemos
f((x-p)+p)=f(x-p)\quad\Rightarrow\quad f(x)=f(x-p).
Logo f(x-p)=f(x). Substituindo isso em III, a afirmação III equivale a
f(-x)=f(x),\quad \forall x\in\mathbb{R}.
Mas como f é ímpar sabemos que f(-x)=-f(x). Se fosse verdade que f(-x)=f(x) para todo x, então juntaríamos as duas igualdades para obter
f(x)= -f(x)\quad\Rightarrow\quad 2f(x)=0\quad\Rightarrow\quad f(x)=0,\\ \forall x,
ou seja, f seria a função identicamente zero. Isso contradiz a hipótese de que f é não nula. Portanto a afirmação III é falsa.

Passo 6

Verificar a afirmação IV: f(x)=-f(-x) para todo x.
Esta é apenas uma reescrita da propriedade de função ímpar f(-x)=-f(x). Tomando a igualdade f(-x)=-f(x) e multiplicando ambos os lados por -1 obtemos
-f(-x)=f(x),
que reescrito dá exatamente
f(x)=-f(-x).
Portanto a afirmação IV é verdadeira (é equivalente à definição de ímpar).

Passo 7

Resumindo os resultados:
  • I é falsa (porque f(p)=f(0)=0);
  • II é verdadeira;
  • III é falsa (porque levaria f\equiv0, contradizendo “não nula”);
  • IV é verdadeira.
Logo as afirmações falsas são I e III.

Resposta

b) I e III são falsas.

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