- (ITA/2005) Considere os conjuntos
,
e
e as afirmações:
I.
e
;
II.
e
;
III. Existe uma função
injetiva;
IV. Nenhuma função
é sobrejetiva.
Então, é(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas IV.
c) apenas I e IV.
d) apenas II e III.
e) apenas III e IV.
I.
II.
III. Existe uma função
IV. Nenhuma função
a) apenas I.
b) apenas IV.
c) apenas I e IV.
d) apenas II e III.
e) apenas III e IV.
Passo 1
O enunciado dá os conjuntos
e
e pede para verificar a veracidade das afirmações I–IV, envolvendo noções de pertinência, inclusão, interseção, injeção e sobrejeção.
e pede para verificar a veracidade das afirmações I–IV, envolvendo noções de pertinência, inclusão, interseção, injeção e sobrejeção.
Passo 2
Analisando I: “
e
”.
– ? Os elementos de
são os números
, não conjuntos, logo
.
– , que de fato é não vazio.
Como a primeira parte é falsa, I é falsa.
–
–
Como a primeira parte é falsa, I é falsa.
Passo 3
Analisando II: “
e
”.
– , então
é verdadeira.
– Mas (pois
são pares e
ímpares), daí
, não
.
Logo II é falsa.
–
– Mas
Logo II é falsa.
Passo 4
Analisando III: “Existe
injetiva”.
Para haver injeção é necessário . Aqui
e
, logo não existe injeção.
Portanto III é falsa.
Para haver injeção é necessário
Portanto III é falsa.
Passo 5
Analisando IV: “Nenhuma função
é sobrejetiva”.
Uma função de um conjunto de 3 elementos para um de 4 elementos
não pode cobrir todos os 4 elementos: a imagem tem no máximo 3 elementos.
Logo não existe sobrejeção e IV é verdadeira.
Uma função de um conjunto de 3 elementos
Logo não existe sobrejeção e IV é verdadeira.
Resposta
b) apenas IV.